1.Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

Пусть функция f определена на некотором конечном или бесконечном промежутке Е, т. е. На отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определённая на Е – первообразная функции f на Е, если F’(x)=f(x) для каждого х из Е.

Если F есть какая-либо первообразная функция функции f, то всякая функция вида Ф(х)=F(x) + C (C – константа, х из Е) также является первообразной для f и всякая первообразная функции f представима в таком виде.

Неопределённый интеграл от функции f на промежутке Е – совокупность всех первообразных функции f, определённых на некотором промежутке Е. Обозначается ∫f(x)dx.

Всякое равенство в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Основные свойства неопределённого интеграла.

1. ∫dF(x)=F(x)+C

2. d∫f(x)dx=f(x)dx

3. Аддитивность интеграла относительно функций.

Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные, то и функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную, причём:

∫[ f1(x) + f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫ f2(x)dx. Равенство выражает собой совпадение двух множеств функций.

Если функция f(x) имеет первообразную и k – постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причём при k≠0 справедливо равенство ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

2.Табличные интегралы.

Операция интегрирования – операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, обратна операции дифференциирования. Всякая формула для производных конкретных функций, т. е. формула вида F’(x)=f(x), может быть обращена: ∫f(x)dx=F(x)+C.

Табличные интегралы.

1. ∫xadx= +C, x>0, a≠-1

2. , x≠0

3. a≠1

4. ∫sinxdx=-cosx+C

5. ∫cosxdx=sinx+C

6. 

7. ∫ctgxdx=ln│x│+C

8. 

9. ∫shxdx=chx+C

10. ∫chxdx=shx+C

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

3.Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование с помощью замены переменной. Интегрирование методом подстановки.

Если известно, что

G’(t)=g(t), , то тогда

- формула замены переменной

( , dt= , по определению дифференциала (dF=F’(x)dx)) Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функции

Пусть требуется вычислить интеграл

Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от x, чтобы

Где g(t) – наиболее удобная для интегрирования фун-я, чем f(x)

Тогда достаточно найти интеграл

, чтобы из него подстановкой t= (x) получить искомый интеграл

4.Интегрирование по частям.

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и интеграл ∫ v du существует, то и интеграл ∫ u dv также существует и ∫ u dv=uv-∫ v du. (1)

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем d (uv)=v du + u dv и потому u dv= d (uv) - v du. Если дифференциалы каких-либо функций равны, то их неопределённые интегралы совпадают, поэтому ∫ u dv=∫ d (uv) - ∫ v du (2), но

∫ d (uv)=uv+C. Подставляя это выражение в (2) и относя произвольную постоянную ко второму слагаемому, получим (1), ч. т. д.

5. Интегрирование рациональных выражений.

Рациональным числом называется такое число , где . Дробь является правильной, если |p|<q. Будем рассматривать рациональные дроби, у которых в числителе и знаменатели стоят многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим элементарные дроби вида , если n>1:

.

Если n=1: .

Вычислим интеграл от элементарной дроби вида

, , n=1,2,…

Заметив, что

, где >0, и положив , имеем: .

Имеем:

Таким образом, интеграл от любой элементарной дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.

Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, а всякая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму элементарных рациональных дробей, т. е. задача интегрирования рац. дробей. Сводится к интегрированию многочленов и эл-ных рац. дробей. Данную рациональную дробь представим в виде , где S(x) и R(x) – многочлены, причем степень многочлена R(x) меньше степени многочленная Q(x), т.е. – правильная рациональная дробь.