10.Вычисление площадей с помощью опр.Интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

11.Выисление длины дуги кривой.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

12.Вычисление объемов тела через площади поперечных сечений и тела вращения.

Пусть в пространстве с декартовой системой координат лежит область , проектирующаяся на ось в отрезок . Предположим, что для каждого нам известна площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь будем называть площадью поперечного сечения тела .

Для нахождения объёма тела возьмём размеченное разбиение отрезка , которое образуют точки деления и отмеченные точки , . Плоскости разбивают тело на слои , объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя на объём цилиндра, высота которого та же, что у слоя , а основание совпадает с сечением тела плоскостью , проведённой где-то посередине между основаниями слоя (см. рис.). Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси через точки границы сечения. Объём цилиндра равен, очевидно, , а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела  --

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции по размеченному разбиению . При неограниченном измельчении разбиения (то есть при ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от по . С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела ). Итак, получаем формулу

13.Несобственный интеграл. Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].