7.Определенный интеграл.Определение и теорема о его корректности.

О п р е д е л е н и е  1. Пусть на отрезке  задана функция . Разделим  на части произвольными точками: , и будем говорить, что этим произведено разбиение  отрезка . На каждом частичном отрезке  разбиения выберем точку  и составим сумму

,

называемую интегральной суммой функции , соответствующей разбиению . Обозначим через максимальную длину частичных отрезков  разбиения . Предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма , когда , называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается следующим образом: .    (5) Число  называется нижним пределом определенного интеграла, а число  - верхним его пределом.

15.Частные производные производные двух переменных.

Пусть  - функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной  . Аналогично определяется частная производная по   . Обозначают:

.

Пусть - функция n переменных, определенная в области  n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной называется предел

.

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.

8 Свойства определенного интеграла.

1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то

2. Если функции ƒ₁(х) и ƒ₂(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а  (см. рис. 170). Число

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ₁(x)≤ƒ₂(х) при х є [а;b], то

Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.