1. Приближённый доверительный интервал для вероятности события.

Пусть имеется событие A и для его вероятности P(A)p мы хотим построить доверительный интервал, сделав n опытов. Допустим, что в этих опытах событие A наступило m раз.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

P{a b} dy.

Возьмём a, b:

P{| |} dy(), 0.

Стоящее под знаком вероятности неравенство заменим равносильным:

P{m²2mnpn²p²²npq}(), 0,

или, заменяя q на 1p:

P{p²(n²²n)p(2mn²n)m²0}(), 0.

Кривая yp²(n²²n)p(2mn²n)m² как функция p является параболой.

Пусть её корни p₁, p₂, причём p₁p₂, т. е.

P{p₁pp₂}(), 0

и теперь мы можем указать процедуру построения доверительного интервала для p:

a) Задаём доверительную вероятность .

b) По  находим  из уравнения (); корень уравнения легко определяется с помощью таблицы функции Лапласа.

c) Решаем квадратное уравнение p²(n²²n)p(2mn²n)m²0, находим его корни p₁, p₂, p₁p₂.

d) Искомый приближённый доверительный интервал имеет вид: p₁ p₂.

Точность этого интервала зависит от того, достаточно ли мала ошибка при использовании теоремы Муавра-Лапласа, можно ли практически считать, что

mN(np, ).

2. Доверительный интервал для параметра a нормального закона при известном .

Пусть XN(a, ), причём  известно.

Получаем выборку (x₁, x₂,  , x_n). Среднее выборочное: N(a, ). Его нормированное уклонение:

 N(0, 1).

Поэтому:

P (), 0.

Заменим неравенство под знаком вероятности равносильным, разрешив его относительно a:

P{  a  }()

и можно сформулировать процедуру построения доверительного интервала для параметра a:

a) Задаём доверительную вероятность .

b) По  с помощью таблицы функции Лапласа находим  из уравнения ().

3. Искомый доверительный интервал имеет вид   ,  ,

Отметим, что длина доверительного интервала сколь угодно мала при больших n: 0.

3. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.

Пусть XN(a, ) и оба параметра неизвестны. Воспользуемся следующей теоремой о выборочном среднем и выборочной дисперсии S² для выборки из нормального закона:

a) N(a, );

b) nS²^ ;

c) S² – независимые случайные величины;

d) ( a)T_n1.

Пункт a) этой теоремы очевиден, пункт d) следует из трёх предыдущих.

Действительно,

N(0, 1); ^_n1

и из независимости и S следует, что отношение  :   рас­пределено по закону Стьюдента с (n1) степенями свободы.

Пункты b) и c) примем без доказательства. Ограничимся только следующими замечаниями.

В выражении



слагаемые – квадраты случайных величин  , распределённых по нормальному закону; если бы они были независимыми, то, как мы знаем, сумма была бы распределена по закону ^_n²; однако они связаны линейной зависимостью:

0.

Оказывается, это влияет лишь на число степеней свободы у ^2, понижая его на единицу. Можно вместо величин (x₁, x₂,  , x_n) ввести с помощью линейного преобразования такие новые величины, которые остаются независимыми и нормальными, причем и S² выражаются через различные новые переменные. Это и обеспечивает независимость. К тому же S² выражается через квадраты ровно (n1) таких новых величин, что и приводит к ^ . Осуществление этой программы мы здесь опустим.

Теперь построить доверительный интервал для a уже нетрудно:

P{ | a|}2 p_Tn₁(t)dt, 0,

или

P{ Sa S}2 p_Tn₁(t)dt.

Строим доверительный интервал так:

a) Задаём .

b) По  из таблицы распределения Стьюдента находим значение  из урав­нения  p_Tn₁(t)dt .

c) Нужный интервал имеет вид:  S, S.

Теорема о выборочном среднем позволяет построить доверительные интервалы также для ² и . Действительно, так как  nS²^ , то для любых x₁, x₂, таких, что 0x₁x₂:

P{x₁ nS²x₂} (x)dx.

Перепишем неравенство под знаком вероятности, решив его относительно ²:

P{ ² } (x)dx.

O x2 x1 x (x) Рис. 7. 

Обычно выбирают x₁, и x₂ так, чтобы заштрихованные на рисунке площади были равны. Если мы хотим построить интервал с доверительной вероятностью , то величина каждой из этих площадей, очевидно, равна .

Процедура построения интервала:

a) Задаём .

b) Находим x₁, и x₂ по таблицам ^2-распределения из уравнений:

(x)dx , (x)dx .

c) Вычисляем  , что и решает нашу задачу.

Очевидно, для параметра  доверительный интервал выглядит следующим образом:

.