Билет 16

Пусть XF(x, ). Аналитический вид функции F(x, ) известен, но значение параметра  – неизвестно. Требуется: понаблюдав n раз X, найти  хотя бы приближённо, т. е. требуется указать такую функцию от выборки (x₁, x₂,  , x_n), чтобы можно было считать её приближением для :

 (x₁, x₂,  , x_n).

Такая функция называется точечной оценкой параметра . Следует учитывать, что в данной постановке задачи параметр  может быть векторным – состоять из нескольких компонент; например, нормальный закон определяется двумя параметрами: a и .

Предыдущие две задачи позволяют указать желательные свойства оценки:

1. Несмещенность: (x₁, x₂,  , x_n).

Несмещенность эквивалентна отсутствию систематической ошибки.

2. Среднеквадратическая ошибка должна быть достаточно мала. Обыч­но ищут оценки, для которых  0 при n; для них при достаточно большом объёме выборки среднеквадратическая ошибка оценки будет как угодно мала.

Иногда удаётся найти такую оценку (x₁, x₂,  , x_n), для которой дисперсия минимальна по сравнению со всеми мыслимыми оценками. Такая оцен­ка называется эффективной. Однако редко бывает так, что эффективная оценка, если она существует, имеет и достаточно простой вид, удобный для практических расчётов. Часто бывает выгоднее пользоваться неэффективными, но более простыми оценками, расплачиваясь увеличением объёма выборки.

Во всяком случае, при сравнении двух несмещённых оценок лучше та, у которой дисперсия меньше: она, как говорят, эффективнее другой.

3. Состоятельность: желательно, чтобы вероятность заметных отклонений от  была достаточно мала. Это достигается, если оценка подчиняется закону больших чисел:

P{| |}1, для 0,

т. е., если (x₁, x₂,  , x_n) сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Ещё лучше, если имеет место обычная сходимость почти наверное.

Расскажем здесь о двух способах получения точечных оценок: о методе максимального правдоподобия и методе моментов.

Билет 17

Пусть XF(x, ), причём вид функции распределения F(x, ) известен, а параметр  неизвестен (считаем его одномерным). Требуется по выборке указать такой интервал ^[ , ^], который с заданной вероятностью  накрывает неизвестный параметр :

P{  }.

Сам интервал ^[ , ^] называется доверительным, а  – доверительной вероятностью. Концы интервала – функции от выборки:

 (x₁, x₂,  , x_n),  (x₁, x₂,  , x_n)

и являются случайными величинами. Желательно иметь  близким к единице, а интервал – поменьше. Однако увеличивая , мы будем получать всё более широкие интервалы и тем самым всё менее информативные интервалы, всё менее интересные. Желательным свойством можно считать условие:  0, тог­да при достаточно большом числе наблюдений можно как угодно точно локализовать параметр .

В качестве  обычно берут числа 0,99, 0,95, 0,9. Выбор доверительной вероятности зависит от практических последствий в случае, когда доверительный интервал не накроет . При 0,9 следует ожидать, что в среднем мы будем промахиваться в десятой части всех применений данного доверительного интервала. Если это не страшно, то можно брать 0,9. Если же нас в этих случаях ждут большие материальные потери или это ведёт к опасностям для человеческой жизни, то такая доверительная вероятность недопустимо мала.

Легко строить доверительный интервал для , если мы имеем для параметра точечную оценку (x₁, x₂,  , x_n) и хотя бы приближённо знаем закон её распределения. Именно в этом случае по закону распределения , задавая , мы можем находить такое , чтобы

P{| |}.

Иногда  называют надёжностью оценки, а  – её точностью. Здесь мож­но переписать неравенство под знаком вероятности в следующем виде:

P{  },

и искомый доверительный интервал имеет вид ^[ , ^] и длину 2.

Разберём несколько задач на построение доверительных интервалов.