2.8. Математические модели принятия решений в условиях конфликта интересов

Практически все компании, действующие на рынке (кроме абсолютных монополистов) должны учитывать, что принятые ими решения будут сталкиваться с решениями, принятыми конкурентами. Иначе говоря, эффективность решения зависит не только от собственного выбора, но и от выборов сделанных конкурентами. Правила принятия решений в условиях конкуренции и изучает теория бескоалиционных игр. В качестве основной теоритико-игровой модели рассматривается следующая:

Имеется N игроков, под которыми понимаются предприятия (на рынке), реальные игроки (в карточной игре), стороны в военных конфликте (при военных приложениях), политические партии и т.п. У каждого игрока L (L1: N) имеется множество допустимых альтернатив SL. Теоретико-игровой ситуацией (далее в данном параграфе просто ситуация) называется вектор, компонентами которого являются допустимые альтернативы каждого из игроков, т.е. ситуация - это вектор X= (X1, X2,…,XN), где XL (L1: N) допустимая альтернатива для L-го игрока (т.е. XL SL). Множество возможных ситуаций S является подмножеством декартового произведения множеств допустимых альтернатив всех игроков, т.е.

S  SL

L1: N

Поскольку считается, что каждый игрок выбирает свою стратегию независимо от других, то обычно предполагают, что S=  SL.

L1: N

Для каждого игрока L задана на множестве S функция выигрыша FL(X), которую каждый игрок стремится максимизировать. В случае если множество альтернатив, у каждого из игроков конечно, функция выигрыша L—го игрока представляет собой N-мерную матрицу, элементы которой FLi1i2…iN определяют результат, получаемый L-м игроком при выборе 1-м игроком своей альтернативы i1, 2-м - альтернативы - i2, N-м - альтернативы iN.

Стремясь максимизировать выигрыш, каждый игрок может оперировать только своими стратегиями, что определяет основной принцип оптимальности для бескоалиционных игр - ситуацию равновесия, в которой каждый из игроков не может улучшить свои результаты за счет собственных действий. Формально ситуация Х* называется ситуацией равновесия, если для любого игрока L имеет место

FL(X*)= max FL(X*XL)

XL SL L

где символ означает, что варьируются только альтернативы L-го

L

игрока, а выбор других игроков неизменен.

Ситуация равновесия может принципиально отличаться от оптимума. В качестве классического примера несовпадения оптимума и ситуации равновесия рассматривается игра, получившая название “Дилеммы двух бандитов”. Фабула игры следующая: Поймали двух бандитов, ограбивших банк, но денег при них не нашли; бандитов посадили в разные камеры; у каждого из них имеется две альтернативы поведения - сознаваться или не сознаваться; в качестве функции выигрыша рассматривается срок, который может грозить каждому из них при разных ситуациях; Если оба не сознаются, то им обоим грозит по 1-му году тюрьмы, так как полиция сделает все возможное, чтобы найти минимальное правонарушение, за которое их можно посадить в тюрьму. Если один игрок сознается, а другой нет, то сознавшегося могут признать “важным свидетелем” и освободить от тюремного наказания, а не сознавшемуся дадут длительный срок - например, 10 лет. Наконец, если оба сознаются, то за групповое преступление даже с учетом чистосердечного раскаяния им грозит по 7 лет. Формально данная игра описывается в виде 2-х двухмерных матриц выигрыша

	Матрица выигрышей 1-го игрока			Матрица выигрышей 2-го игрока
Альтернативы	Альтернативы 2-го игрока			Альтернативы 2-го игрока
1-го игрока	Сознаваться	не сознаваться		сознаваться	Не сознаваться
сознаваться	-7	0		-7	-10
не сознаваться	-10	-1		0	-1

Наилучшей кажется ситуация, при которой обоим преступникам не следует сознаваться. Однако данная ситуация не является равновесной, так как каждый из бандитов имеет возможность улучшить свою ситуацию сознавшись в преступлении. Равновесной в данной игре является ситуация, в которой обоим преступникам следует сознаваться, так как изменение индивидуального выбора приведет к ухудшению ситуации для каждого из них.

В бескоалиционных играх может существовать не одна, а несколько ситуаций равновесия, или вообще подобной ситуации может не существовать. В случаях, когда ситуации равновесия в исходной игре не существует, переходят к различным расширениям игр, в которых ситуация равновесия могут существовать.

Наиболее часто используемое расширение игр, так называемое смешанное расширение.

Будем считать, что каждый игрок будет выбирать каждую свою стратегию с некоторой вероятностью, т.е. на множестве стратегий SL будет задано какое-то вероятностное распределение рL(Х). Это распределение называется смешанной стратегией. Множеством смешанных стратегий РL является множество всех вероятностных распределений, которые могут быть заданы на SL. Ситуацией в смешанных стратегиях называется вектор, компонентами которого являются допустимые смешанные стратегии для каждого из игроков, т.е. ситуация - это вектор р= (р1, р2,…, рN), где рL (L 1: N) допустимая смешанная стратегия для L-го игрока (т.е. рL РL). Множество возможных ситуаций Р  РL (т.е. является декартовым произведением

L 1: N

множеств допустимых смешанных расширений всех игроков.

Для каждого игрока L задается на множестве Р функция выигрыша ФL(р), которая определяется как

ФL(р) =  FL(X) dp1(X1) dp2(X2)… dpN(XN)

X S

Ситуация в смешанных стратегиях р* называется ситуацией равновесия, если для любого игрока L имеет место

ФL(р*)= max ФL(р*рL)

рL РL L

В случае конечного числа альтернатив у каждого из участников множество смешанных стратегий РL для каждого из участников определяется как множество векторов рL, отвечающих условиям:

1. рLi >=0 для любой стратегии i, имеющейся у L-го игрока

2.  рLi= 1

iSL

Функция выигрыша L–го игрока в смешанных стратегиях для бескоалиционных игр определяется как

ФL(р)= …  FLi1i2…iN * р1i1* р2i2*… рNiN

i1S1 iN SN

т.е. представляет собой мультилинейную функцию. Известно, что для всех бескоалиционных игр с конечным числом стратегий существуют ситуации равновесия в смешанных стратегиях. Как и при чистых стратегиях ситуаций равновесия может быть множество.

Если при большом числе участников ситуация равновесия в смешанных стратегиях описывается достаточно сложно, то в случае так, называемых антагонистических игр оно становится достаточно прозрачным.

Бескоалиционная игра двух лиц называется антагонистической, если выигрыш первого игрока равен проигрышу второго.

Ситуация р* называется ситуацией равновесия в бескоалиционной игре двух лиц с конечным числом стратегий, если для первого игрока имеет место

ФL(р*1, р*2)= max min   F1ijj* р1i *р2j

р1Р1 р2Р2 i S1 j S2

Поиск ситуации равновесия в антагонистических играх может быть сведен к задаче линейного программирования, в то время как поиск ситуации равновесия в других типах игр обычно требует применения достаточно сложных алгоритмов.