Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.

Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бес­конечном) интервале называется дифференцируемая функция F(х), производная которой равна f(x) во всех точках интерва­ла, т.е. F'(х) = f(x).

Теорема. Пусть и - первообразные для , тогда они отличаются друг от друга на постоянные слагаемые(const),т.е. .

Док-во.

1. По условию и

2.  , т.е.

Неопределённым интегралом функции называется множество всех её первообразных.

Для проверки формулы достаточно найти производную функции F(х) и убедиться в том, что она равна подынтегральной функции f(х).

Взаимная обратность операций интегрирования и дифферен­цирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.

Интегрирование и дифференцирование есть две взаимно обрат­ные операции. Всякому правилу дифференцирования соответ­ствует правило (метод) интегрирования. Так, свойство линей­ности производной переходит в свойство линейности интеграла. Правилу дифференцирования сложной функции соответствует, как мы видели, метод интегрирования введением под знак дифференциала. Этому же правилу соответствует также метод ин­тегрирования заменой переменной. И правилу дифференцирования произведения соответствует метод интегрирования по частям.

Свойство линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от интегралов этих функций.

Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и на­хождении длины пути по известной скорости.

1)Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геомет­рического смысла определенного интеграла следует, что пло­щадь криволинейной трапеции, т.е. области, лежащей под графиком функции , , вычисляется по формуле .

Площадь области S, расположенной между графиками двух функций, т.е. S : а ≤ х ≤ b, g(х) ≤ у ≤ f(х), вычисляется по формуле

2)Пусть мат. точка движется по прямой(оси x) с известной переменной скоростью dt от d=a до d=b. Требуется найти расстояние S, которое проходит точка.

, тогда

Разобьем время движения на части

Рассмотрим промежуток времени. , тогда за время от до мы можем считать приближенно, что мы едем с постоянной скоростью. При этом проходим расстояние ,

Определение определенного интеграла. Теорема существова­ния (формулировка). Геометрический и механический смысл ин­теграла.

Определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] , или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, сост-щей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆x_i, а высоты равны f(c_i), если f(x)≥0

Механический смысл опред. интеграла. Если переменная- это время, а функция – это скорость, то интеграл скорости по времени равен расстоянию.

Свойства определенного интеграла.

1)Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом отрезке

2) Аддитивность. Для любых a, b и c

3) Линейность. Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций и любой постоянной A

4) Если интегрируемы на [a; b], то также интегрируема на этом отрезке.

5) Интегрирование неравенств. Если , то . В частности, если , то

6) Если для любого и существует такое, что причем непрерывна в x₀ то

7) Если поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменит знак.

8) Если непрерывна на , то точка такая, что

Теорема (Барроу) о дифференцировании определенного ин­теграла по переменному верхнему пределу.

Если непрерывна, то имеет производную, которая равна подынтегральной функции.

Док-во.

,т.е.

Следствие. Теорема утверждает, что является первообразной . Т.О. У каждой непрерывной функции есть первообразная.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция непрерывна на и – её первообразная, то

Замена переменных в определенном интеграле.

Пусть функция непрерывна на [a;b], а функция

непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , и значения функции не выходят за пределы отрезка [a;b], когда . Тогда

Интегрирование по частям для неопределенного и определен­ного интеграла

Для определенного интеграла. Если функция непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то

Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами , определяется по формуле

Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функ­ции.

Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на кусочки, то он называется длиной дуги кривой AB.

Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: .

Если гладкая прямая является графиком функции , то её длина l равна

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.

Если кривая задана параметрическими уравнениями х =x(t), y=y(t), α≤t≤β, то

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , , то