Производная сложной и обратной функций.
Производная обратной функции.
Пусть
функция 
дифференцируема
и строго монотонна на 
.
Пусть также в точке 
производная 
.
Тогда в точке 
определена дифференцируемая функция 
,
которую называют обратной к 
,
а ее производная вычисляется по формуле 
.
Пример:
Производная сложной функции.
Пусть
задана сложная
функция 
,
т.е. переменная 
есть
функция переменной 
,
а переменная
есть,
в свою очередь, функция от независимой
переменной 
.
Если 
и 
- дифференцируемые функции
своих аргументов, то сложная
функция
является
дифференцируемой функцией и ее производная
равна произведению производной данной
функции по промежуточному аргументу и
производной промежуточного аргумента по
независимой переменной:
.
Производные функций, заданных в параметрическом виде и неявно.
Пусть
задана зависимость двух переменных 
и 
от
параметра 
,
изменяющегося в пределах от 
до 
:
Пусть
функция 
имеет
обратную: 
.
Тогда мы можем, взяв композицию
функций 
и 
,
получить зависимость
от
: 
.
Зависимость величины
от
величины
,
заданная через зависимость каждой из
них от параметра
в
виде 
,
называется функцией 
,
заданной параметрически.
Производную
функции 
,
заданной параметрически, можно выразить
через производные функций 
и 
:
поскольку
и,
по формуле производной обратной
функции, 
,
то
где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .
Заметим,
что применение формулы приводит нас к
зависимости между 
и
,
снова выраженной в виде параметрической
зависимости: 
, 
;
второе из этих соотношений -- то же,
что участвовало в параметрическом
задании функции
.
Несмотря на то, что производная не
выражена через
в
явном виде, это не мешает решать нам
задачи, связанные с нахождением
производной, найдя соответствующее
значение параметра
.
Покажем это на следующем примере.
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример : Найти производную функции у, заданную уравнением х3+у3-3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3+у3-3ху=0. Из полученного соотношения
3х2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0
следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).
Б
ИЛЕТ
15.
Первый
замечательный предел.
Для
доказательства возьмем вектор
окружности радиуса 1 с центральным
углом, равным
(радиан),
и проведем
.
Тогда пл.
<
пл. сект.
<
пл.
или
.
Разделив все части этого неравенства
на
>
0, получим
или
.
Это неравенство, доказанное для любых
из интервала (0;
),
верно для любого
из
интервала (-
;
)
в силу четности функций, входящих в это
неравенство.
Докажем,
что
(
)
при
А
раз
и
,
то
.
Кроме
того:
=
1
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.
.
На
первый взгляд кажется, что
при
имеет пределом единицу (так как 1+
при
имеет пределом единицу, а единица в
любой степени есть единица). Но в степень
возводится
1+
,
а не единица. И вот из-за этой бесконечно
малой добавки
предел не равен единице. Чтобы
приблизительно представить себе
поведение функции
при
малых
приведем таблицу значений этой функции:
|
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
=
Вычислим
.
Рассмотрим
=
=
.
По
определению Гейне рассмотрим
.
*
То
есть
=
=
=
.
Т
акже
=
=
=
=
1
БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение:
бесконечно
малая функция при
,
если
.
Определение:
Пусть
и
-
бесконечно малые функции при
.
Тогда:
1)
и
эквивалентны при
(
~
,
),
если
.
2)
,
-
бесконечно малые одного порядка малости
при
,
если
.
3)
-
бесконечно малая более высокого порядка
малость, чем
.
(
=
(
),
),
если
.
4).
имеет
-й
порядок малости относительно
при
,
если
.
5).
называется ограниченной относительно
бесконечно малой функции
при
,
если
.
Примеры:
1).
при
.
2).
(
,
-бесконечные
малости одного порядка).
3
).
(
)
1 0
4). …
(
)-
2-й порядок малости относительно
при
.
5).
-
произвольная.
БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение:
функция
называется
бесконечно
малой
при
,
если
=0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть , -бесконечно малые функции при .
-
.
Тогда
~
при
.
Доказательства:
( ). Пусть ~ , , то есть .
=0,
то есть .
(
).
.,
.
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть
функция
~
,
~
при
и существует
,
тогда существует и
=
.
То есть выражение или функцию можно
заменять на эквивалентное.
=
*
*
=
.
1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение
1:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Определение
2:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
,
.
Определение
3:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема
1 (локальная огр.): Пусть
функция
непрерывна
в точке
,
тогда
.
Теорема
2 (отделимость от 0): Пусть
функция
непрерывна
в точке
и
,
тогда
.
.
Теорема
3 (арифметика непрерывных функций):
Пусть
,
непрерывны
в точке
,
тогда:
1).
непрерывна в точке
.
2).
непрерывно в точке
.
3).
Если
,
то
непрерывно
в точке
.
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема:
если функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Доказательство:
Возьмем
число
>0.
Так как функция
непрерывна
в точке
то
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(1)
А
так как функция
непрерывна в точке
,
то для положительного числа
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(2)
Возьмем
любое число
такое, что
.
Тогда в силу (2)
число
удовлетворяет неравенству
,
и поэтому в силу (1)
.
Так как все эти вычисления проведены
для любого
>0,
то непрерывность функции
в точке
доказана.
БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.
Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.
Определение:
точка
-точка
устранимого разрыва функции
,
если существует
,
но
не
определена в точке
,
либо
.
Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:
-
непрерывна в точке
.
Пример:
.
,
-
точка устранимого разрыва
.
Если
не
существует, то
-точка
неустранимого
разрыва .
Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:
если существует
,
то
.если
,
то
-точка
разрыва функции
1-го рода.если
,
то
-точка
разрыва функции
2-го рода.
П
римеры:
1).
.
,
- точка разрыва 1-го рода.
2
).
.
,
- точка разрыва 2-го рода.
3
).
,
- точка разрыва 2-го рода.
4
).
не
существует
точка
-
точка разрыва
2-го
рода.
, . Точка - точка разрыва 2-го рода.
БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.
Определение:
непрерывна на
,
если
непрерывна в точке
,
непрерывна
на
,
если
непрерывна в точке
,
и
Существует
,
.
Теорема:
Пусть
определена на
и
,
причем
.
Тогда
.
Пусть
,
.
Используем метод деления отрезка
пополам.
Обозначим:
,
.
Определим
1)
=0
.
2)
<
0
,
.
3)
>
0
,
и так далее.
.
.
По
лемме о вложенных отрезках:
,
то есть
.
непрерывна
в точке
.
.
0
(
)
.
.
0 ( )
Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):
Пусть
определена на
и
,
,
,
Тогда
:
.
Пусть
для ограничения
.
Рассмотрим
произвольн.
:
непрерывна
на
.
Из этих двух утверждений следует:
,
то есть
.
БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть
.
Тогда
ограничена
на
.
Доказательство:
Докажем,
что
.
Предположим
противное, то есть
.
Возьмем
=1,2,3…
Получим
:
1)
2)
Из
этих определений получаем
.
=>
-подпоследовательность
последовательности
:
.
-непрерывна
в точке
=>
.
-подпоследовательность
последовательности
:
=>
.
Противоречие.
Замечание:
Замкнутость
по
существу.
,
,
но
Не
является ограниченной на
.
БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть
.
Тогда
Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.
Доказательство:
По
условию теоремы
=>
ограничена
на
=>
Докажем, что
.
Предположим противное, то есть
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
на
.
По 1 теореме Вейерштрасса
ограничена
на
,
то есть
.
(<
)-
верхняя граница.
,
то есть
.
Противоречие.
Следствие:
если
,
то
.
БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Функция, непрерывная на отрезке.
Определение:
Функция
называется
непрерывной на отрезке
,
если она непрерывна в каждой внутренней
точке этого отрезка, непрерывна справа
в точке
и
непрерывна слева в точке
.
Теорема
Кантора:
Если функция
непрерывна
на отрезке
,
то для любого
можно указать такое
,
что
для любых
и
из
таких, что
.
+ БОНУС
Доказательство:
Возьмем
число
.
Построим на отрезке
точки
следующим образом: если точка
уже построена, то рассмотрим множество
,
состоящее из всех точек
,
удовлетворяющих неравенствам:
,
.
Положим (см. рисунок), что:
если пусто (и на этом построение заканчивается).
если не пусто.
Заметим,
что
в силу непрерывности
и
для любого
из отрезка
.
Последовательность
может быть конечной или бесконечной.
Предположим, что она бесконечна, тогда
для
всех
.
Пусть
.
Так как
,
то функция
непрерывна в точке
слева,
и потому можно указать такое число
,
что
и
для любого
из интервала
.
По определению числа
можно
найти
в
интервале
.
Тогда любое число
из интервала
принадлежит
интервалу
,
и потому
,
что противоречит тому, что
.
Таким образом, последовательность
не
может быть бесконечной, и потому
существует такой номер
,
что
.
Положим:
.
Возьмем два любых числа
и
из отрезка
таких, что
.
Тогда возможны два случая: или обе эти
точки попали на некоторый отрезок
и тогда
,
или этого не случилось, и тогда найдется
точка
между
и
.
Но в этом случае
,
так как
и (доказывается аналогично)
,
а потому
.
Так как все приведенные рассуждения
справедливы для любого
,
то теорема доказана.
Смысл
этой теоремы
состоит в том, что для всех точек отрезка
можно по заданному числу
подобрать общее для всех точек
число
(фигурирующее в определении). Для функций,
непрерывных на интервале это можно
сделать уже не всегда.
БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.
Определение:
Пусть функция f(x)
определена в окрестности точки
.Если
ее приращение
можно представить в виде
,то
говорят ,что f(x)
дифференцируема в точке
(иногда
пишут
-величина
более высокого порядка, чем
а это означает, что
)
-линейная
функция от
.Она
называется дифференциалом функции f(x)
и обозначается
Пример:
Критерий дифференцируемости:
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость.
f(x)
дифференцируема в точке
это означает
.
Разделим это равенство на
и перейдем к пределу
,т.е. существует
,
т.е. производная существует.
2.Достаточность.
Пусть существует
или
,
т.е. f(x)
дифференцируема в точке
.
Итак,
,
т.е.
.Отсюда
следует новое обозначение производной
и эту величину можно рассматривать как
один символ, так и как частное
дифференциалов.
Понятие производной функции.
Определение:
Производной функции
в
точке
называется предел
Очень удобна более короткая запись для
этого предела и более короткое обозначение
для производной
.
БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.
Теорема:
Если
функции
и
имеют
производные, то
1)
.
2)
.
3)
(
постоянная).
4)
.
Доказательство:
По теореме об арифметике пределов
функций, по определению производной и
формулам:
,
и
имеем:
1).
.
2).
=
=
=
+
+
+
=
=
,
так как множители
и
не зависят от
и
при
являются постоянными, а
,
поскольку
имеет производную и потому непрерывна.
3).
(так как
).
4).
=
.
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производная сложной функции.
Пусть
функция y=f(x)
имеет производную в точке
,а
функция z=F(y)
имеет производную в точке
,
тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x))
имеет производную в точке
.
Доказательство:
Функция f(x)
непрерывна в окрестности точки
,
функция F(y)
непрерывна в окрестности точки
,
поэтому в окрестности точки
существует сложная функция Ф(x).Функция
F(y)
имеет производную в точке
,
поэтому она дифференцируема в этой
точке.
(\/)
-бесконечно
малая более высокого порядка, чем
,
но
может быть неопределенна в точке
=0,
поэтому мы доопределяем ее по непрерывности
в точке 0 :
.Разделим
равенство (\/) на
:
F(y)=F(y(x))=Ф(x)
и тогда равенство запишем в виде
.
Перейдем к пределу
.
окажем, что
,
то y=f(x)
непрерывна в окрестности точки
,
т.е.
(
и
стремятся
к 0 одновременно), т.е.
(т.к.
бесконечно
малая более высокого порядка, чем
),
а
,
т.о. получим формулу
.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.
z-независимая переменная , y-зависит от x
Если
y=f(x),
то
БИЛЕТ 29. Теорема Ферма.
Теорема Ферма (необходимое условие extr):
Пусть
определена на интервале (a,b)
и точка
если
в точке
функция f(x)
достигает max
или min
значения и в точке
существует производная, то f’(
)=0.
Доказательство.
Пусть
для определенности в точке
принимает max
значение, т.е
.
В точке
существует производная
,
тогда
(правая
и левая производная).Распишем отношение
переходя
в этих интервалах к пределу, получим
Замечание.
Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.
Геометрический смысл теоремы.
В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.
БИЛЕТ 30. Теорема Ролля.
Теорема Ролля:
Пусть функция y= :
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема (a,b);
3)
f(a)=f(b),
тогда
Доказательство.
Функция
f(x),
непрерывна на [a,b]
достигает на нем max
M
и min
m
значения, т.е
.
Возможны два случая.
1)
и
2)
,тогда
либо максимальное значение f(x)
либо минимальное значения f(x)
достигается внутри интервала (a,b)
(не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)).
,
тогда
достигает максимального или минимального
значения во внутренней точке интервала
(a,b) и по
теореме Ферма
|
|
|
|
|
|
Все
условия теоремы Ролля существенные.
Если выполняется, только 2 из 3(см.
картинку), то не существует точка причем
(касательная
параллельная оси ОХ).
БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(x)
-непрерывна на отрезке [a,b];
-дифференцируема на интервале (a,b);
Тогда
(формула
конечных приращений)
Доказательство.
Рассмотрим
функцию
.Параметр
выберем из условия F(a)=F(b)
Функция
F(x)
удовлетворяет всем условием т.Ролля
(она непрерывна и дифференцируема, как
сумма непрерывных и дифференцируемых
функций )
Геометрический смысл.
В
предположение теоремы существует точка
:касательная к графику функции параллельна
секущей(хорде).
Следствие.
Пусть
f(x)
определена, непрерывна и дифференцируема
на (a,b).
И в каждой точке интервала (a,b)
,
тогда f(x)=const.
Доказательство.
Пусть
x1
и x2
две произвольные точки интервала(a,b),тогда
,
точка
лежит между этими точками x1
и x2,
по условию
,
т.е f(x)=const(в
силу произвольности выбора x1
и x2).
БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Теорема Коши.
Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)
1) и g(x) непрерывны на [a,b];
2)
и g(x)
дифференцируемы на (a,b)
причем
,
тогда
Доказательство.
Рассмотрим
функцию
параметр
выбрали из условия
.
Для
функции F(x)
выполнены условия теоремы Ролля.
Формулировка теоремы Ролля
Сравнивания формулы для
,
получим утверждение теоремы.
Следствие.
Теорема
Лагранжа.
Если
,то
.
БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Правило Лопиталя.
Для
раскрытия неопределенности вида
.Пусть
и g(x)
определены в окрестности точки а, кроме,
быть может, самой точки а и
.
И пусть в окрестности точки а существуют
.
Если существует
,
то
и эти пределы равны.
Доказательство.
а - конечное число. Доопределим функции и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение
.
Здесь
(использовали
теорему Коши). Перейдем к пределу при
(т.к
и если
,
то
).
надо
сделать замену, x=1/t,
тогда
,
и правило применяется к новой функции
.
Теорема 2.
Пусть
и g(x)
определены и дифференцируемы в окрестности
точки а и
.Если
,
то
и они равны.
Замечание.
В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы .
-теорема
1 доказана.
-теорема 2 формулировка.
.
Пример,
когда нельзя применять правило Лопиталя
.
Вычислим
предел отношения производных
он не существует, т.к. не существует
предел числителя и знаменателя. Правило
Лопиталя применять нельзя.
Вычислить.
БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.
Формула Тейлора.
Пусть
функция
дифференцируема
в точке
,
тогда
,
где
-бесконечно
малая более высокого порядка чем
.
,
где
линейная
функция, причем
.
Можно
расписать, что
,
т.е в окрестности точки
функция f(x)
ведет себя как линейная. Поставим более
общую задачу: для функции y=f(x)
найти многочлен порядка n,
который обладает следующими свойствами:
Многочлен
будем писать в виде
первые
равенства получаются путем дифференцирования
формулы для
и подстановки
.
Вторые равенства - это требуемые свойства
.f(x)
у которого существует производная до
n
порядка включительно можно найти
коэффициенты
Многочлен
,
,
многочлен
Тейлора для функции f(x).
Обозначим
Рассмотрим
функцию
и
вычислим
Т.о
получим
,
остаточный
член формулы Тейлора.
Пусть
функцияf(x)
определена на интервале (a,b)
и в каждой точке x0
принадлежащей интервалу (a,b)
имеем производную до n
порядка включительно, тогда
,
где
Единственность многочлена Тейлора.
Пусть
функция
представлена в окрестности точки
многочлена вида
Доказательство.
Если
где
её многочлен Тейлора и есть у нас другой
многочлен
надо показать, что коэффициенты одинаковы
Пусть
сократим на
.
пусть
сократим на
и т.д.
многочлен
Тейлора единственен.
БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.
На
рисунке нарисован график
функции
,
всюду имеющей производную. В точке
касательная к
и ось
образуют
острый угол
,
поэтому ее угловой коэффициент, равный
,
положителен. Но
.
Следовательно,
.
И так будет в любой точке интервала
,
где функция
монотонно возрастает. Напрашивается
вывод: если на интервале
,
то на этом интервале функция монотонно
возрастает. Далее, в точке
касательная к
образует с осью
тупой
угол
,
поэтому ее угловой коэффициент, равный
отрицателен. А так как
,
то
.
Вывод: если на интервале
,
то на этом интервале функция монотонно
убывает. В точке
функция имеет максимум. На чертеже ясно,
что в этой точке касательная к
параллельна оси
,
и поэтому ее угловой коэффициент равен
нулю, так что
.
При этом слева от этой точки
,
а справа
.
Теорема (достаточный признак монотонности).
1).
Если
на
отрезке
,
то
монотонно
возрастает на
.
2).
Если
на
отрезке
,
то
монотонно
убывает на
.
Доказательство:
Возьмем
любые числа
и
,
причем
<
,
из интервала
.
По формуле Лагранжа получаем:
,
,
и поэтому
принадлежит интервалу
.
Так как
,
то в первом случае
,
то есть
,
а во втором
,
то есть
,
что и требовалось доказать.
БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.
Теорема 1. Необходимое условие экстремума.
Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.
В точке х1 – min; в точке х2 – max.
Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.
Пусть
f(x)
дифференцируема в некой окрестности
точки х0, и в точке х0 f(x)
непрерывна. Если f’(x)
при переходе через точку х0 меняет знак,
то точка х0 является точкой строгого
экстремума, при этом 1)если при
,
а при
то
в точке х0 – минимум. 2)если при
,
а при
то в точке х0 максимум.
Доказательство.
Докажем
1)
.Теорема
Лагранжа
.
а) Если х-х0>0 и
.
б) если х-х0<0 и
,
т.е при переходе через точку х0
не меняет свой знак:
>0,
т.е точка х0-точка минимума.
2)Доказательство аналогично.
Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.
Пусть
в точке х0 у функции f(x)
существует n
производных, причём
Тогда, если n=2k,
то в точке х0 экстремум, и если
Если n=2k+1
в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка
возрастания. Если
и точка убывания,
если
.
Следствие.
Если в точке х0 у функции f(x)
существует
, то, если
>0,
то в точке х0 минимум,
<0,то
в точке х0 максимум (k=1).
Доказательство.
Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.
или
знак
определяется
первым слагаемым, если n
– четное, то знак
зависит от знака
.
По этому, если
то
>0
– минимум.
то
<0
– максимум. Если n
– нечетное, то знак
зависит от
и
,
т.е. при переходе через точку х0 знак
меняется, следовательно в точке х0
экстремума нет.
Следствие.
.
f’’(x0)>0,
>0
– минимум; f’’(x0)<0,
<0
– максимум.
БИЛЕТ 37. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.
Выпуклости функции. Точка перегиба.
Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если
(
)
Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.
Достаточное условие строго выпуклости.
Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.
Доказательство
Рассмотрим
разность
х2-х1>0
а)Если
выпукла вниз.
б)
Если
выпукла вверх.
Опр.
Точка х0 для функции f(x)
называется точкой перегиба, если она
является концом интервала выпуклота
вверх(вниз) и началом интервала выпуклота
вниз(вверх)
Необходимое условие точек перегиба.
Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0
Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.
БИЛЕТ 38. Достаточные условия перегиба графика функции.
Достаточное условие точки перегиба.
Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.
Доказательство.
Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.
Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.
Теорема.
Пусть функция f(x)
обладает следующим условием
непрерывна в точке x0
и
.n-четное
y=
f(x)
выпукла вверх, если
и выпукла вниз, если
,
n+1-нечетное-
точка x0-точка
перегиба.
Доказательство.
n+1-
четное следовательно положение функции
у нас зависит только от производной
.
N-нечетное
y(x)>y(кас),
если
.
y(x)<y(кас),
если
,
точка X0-точка
перегиба.
БИЛЕТ № 39. дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.
Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.
Рассмотрим
пример. Найти
первообразную
,
если
.
Решение.
Раньше мы
эту задачу решали с помощью неопределенного
интеграла. Однако, ее можно рассматривать
как задачу о нахождении функции
,
удовлетворяющей уравнению
.
.
В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:
.
(12.1)
Например:
.
Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
,
(12.2)
где
- некоторая функция от
переменной.
Определение.
Решением
дифференциального уравнения (12.1)
называется такая функция
,
которая при подстановке ее в это уравнение
обращает его в тождество.
Например,
есть решение уравнения
,
т.к.
.
Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
Поскольку
,
то
.
Интегрируя левую и правую часть равенства,
получим
.
Т.к.
,
то разделив переменные имеем
.
Интегрируя вторично, получим решение:
,
.
Проверка:
.
Определение.
Общим
решением
дифференциального уравнения (12.1)
–го
порядка называется такое его решение
,
которое является функцией переменных
и
произвольных постоянных
.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
Например,
для уравнения
,
где
.