16.Установившееся изотермическое течение жидкости: в каналах круглого сечения;
Установившееся изотермическое течение:
1. В каналах
круглого сечения.
Рассмотрим течение расплава полимера
под действием перепада давления
вдоль оси канала с радиусом
и сравнительно большой длиной
.
-
эпюра распределения напряжений сдвига
П
ри
горизонтальном расположении канала
(например, трубки капилляра) масса
жидкости не имеет определяющего значения.
При изучении динамики жидкости
воспользуемся методом Лагранжа, т.е.
будем изучать поведение элементарного
объема жидкости в пределах, в которых
все параметры жидкости являются
постоянными, иными словами будем
рассматривать несжимаемые жидкости,
плотность которых постоянна. Силы,
заставляющие элемент жидкости
передвигаться в направлении перепада
давления равны:
.
Силы трения, препятствующие свободному
перемещению элементарного объема
жидкости, равны напряжению сдвига
,
действующего по боковой поверхности
элемента, умноженному на площадь этой
поверхности:
.
Для установившегося течения жидкости
в горизонтальной трубе эти две силы
равны друг другу по абсолютной величине:
:
,
(46)
Эта зависимость
показывает, что напряжение сдвига внутри
потока жидкости изменяется от
в центре потока (
)
до максимального значения у стенки
трубы (см. эпюру на рисунке). Это так
называемое Пуазейлевское течение.
Для определения скорости движения жидкости в канале используют следующую зависимость:
,
(47)
Как следует из уравнения (47) распределение скорости по диаметру трубы является параболическим. Если диаметр трубы невелик, то траектория движения частиц жидкости должна представлять собой прямые линии, параллельные оси X, а скорость частиц будет постепенно увеличиваться от стенки к оси, достигая на ней максимума, т.е. эпюра будет иметь вид:
В пристенной области имеет место сдвиговое течение.
Расход полимерного материала может быть определен исходя из скорости и диаметра круглого канала по формуле:
,
(48)
где
- показатель в степенном уравнении
Оствальда (
);
для
расплавов полимеров, проявляющих
постоянную степень аномалии вязкости
в широком интервале скоростей сдвига;
- коэффициент,
численно равный вязкости системы при
;
- второй инвариант
тензора скоростей деформации.
Скорость сдвига
на стенке канала при
равна:
,
(49)
Для Ньютоновской
жидкости
,
поэтому
.
Уравнения (46-49) широкого применения при расчете экструзионных головок, литниковых каналов пресс-форм и в капиллярной вискозиметрии.
17.Между двумя параллельными пластинами;
Выделим из потока
жидкости элемент объема единичной
ширины, толщиной
и длиной
,
двигающийся вдоль оси
под действием перепада давления
.
Расстояние между
пластинами
.
Силы, заставляющие элемент продвигаться
в направлении оси
,
равны перепаду давления
,
действующему на площадку
.
Силы трения, препятствующие свободному
перемещению элемента объема жидкости
равны напряжению сдвига, действующего
по двум боковым поверхностям элемента
площадью
в направлении, противоположном направлению
течения, т.е. со знаком «-». В условиях
равновесия:
.
Отсюда:
,
(50)
или при
:
,
Как видно, напряжение сдвига зависит от перепада давления, толщины слоя полимера и длины пути движения полимера. Скорость движения расплава равна:
,
(51)
Объемный расход расплава определяется по формуле:
,
(52)
Скорость сдвига на поверхности пластины при толщине элемента жидкости равном определяется из выражения:
,
(53)
Приведенные уравнения используются для расчетов экструзионных щелевых головок.
1
8.между
двумя коаксиально расположенными
цилиндрами.(Куэттовское
течение)
Рассмотрим установившееся
круговое течение расплава, находящегося
в кольцевом зазоре между двумя бесконечными
цилиндрами, один из которых неподвижен,
а второй вращается с постоянной угловой
скоростью
.
Канал образуется внутренним цилиндром
с радиусом
и внешним с радиусом
.
Куэттовское течение имеет место в
ротационных вискозиметрах. Измеряются
угловая скорость вращения цилиндра и
крутящий момент
,
необходимые для поддержания постоянной
скорости, идущей на преодоление вязкого
сопротивления жидкости. Зазор между
цилиндрами делается небольшим для
поддержания
по всей длине.
Чем ближе
к
,
тем ближе решение куэттовского течения
к плоскопараллельному. Вязкое сопротивление
зависит от относительного смещения
слоев жидкости. Из механики известна
связь между линейной и угловой скоростями:
,
где - число оборотов в единицу времени.
Градиент скорости при вращательном движении может быть записан:
,
Если цилиндру и
жидкости сообщить общее равномерное
вращение, то относительного смещения
слоев жидкости не произойдет. Поэтому
при вращении жидкости градиент угловой
скорости
не может быть величиной, характеризующей
вязкое сопротивление, так как
вызывается скоростью сдвига
и не зависит от
.
Таким образом, величиной, характеризующей
вязкое сопротивление является скорость
сдвига
,
равная
.
Отсюда:
,
(54)
Напряжение сдвига в слое жидкости, расположенном на расстоянии от общей оси цилиндров может быть определено исходя из условия равновесия:
,
где - крутящий момент, приходящийся на длину неподвижного цилиндра, возникающий при вращении внутреннего.
,
(55)
Из (55) видно, что напряжение сдвига имеет максимальное значение на стенке внутреннего цилиндра. Полученные уравнения используются при обработке данных ротационной вискозиметрии, а также при расчете формующих головок экструдеров.