8. Модели идеальных тел;

I. Модели идеальных тел.

1. Идеально упругое тело Гука – тело (материал), деформация которого подчиняется уравнению:

, (18)

Деформация в упругих телах осуществляется со скоростью распространения звука в них, т.е. практически мгновенно. Также мгновенно тело принимает первоначальную форму после снятия нагрузки. В качестве простейшей модели тела Гука используют обычную пружину. Единственной характеристикой такой пружины является ее жесткость, которую можно считать равной модулю сдвига . При приложении к этой пружине усилия, вызывающего напряжение , ее деформация описывается выражением (18).

2. Идеально пластическое тело Сен-Венана. Простейшей механической моделью его является элемент, лежащий на плоскости с постоянным по величине трением, не зависящим от приложенной силы.

Материал остается жестким до тех пор, пока величина приложенного к нему напряжения лежит ниже некоторого критического значения , называемого пределом текучести. В тот момент, когда , начинается пластическое течение материала при постоянном напряжении сдвига.

3 . Идеально вязкая жидкость Ньютона. В качестве простейшей механической модели этой жидкости используют цилиндрический поршень, передвигающийся в цилиндре, заполненном вязкой ньютоновской жидкостью. Между напряжением, приложенным к поршню и скоростью его перемещения соблюдается зависимость (1).

, (1)

Пластическое тело Сен-Венана и вязкая жидкость Ньютона являются диссипативными. У них механическая энергия, затрачиваемая на пластическую деформацию и вязкое внутреннее трение превращается в теплоту. Упругое тело Гука является консервативной системой, т.е. в нем энергия, затраченная на деформацию накапливается и может быть возвращена при разгрузке.

9.Линейные модели вязкоупругих тел;

I I. Линейные модели вязкоупругих тел.

1. Вязкоупругое релаксируемое тело Максвелла. Его модель представляет собой комбинацию из последовательно соединенных упругого и вязкого элементов. Если подвергнуть тело Максвелла деформации, приложив к нему постоянное усилие , то можно ожидать, что в начале оно скачкообразно деформируется на величину, соответствующую растяжению упругого элемента, а затем будет деформироваться с постоянной скоростью, соответствующей величине приложенного напряжения.

С другой стороны, если быстро деформировать тело Максвелла, а затем зафиксировать полученную деформацию и наблюдать за изменением напряжения во времени, то начальное напряжение, соответствующее заданной величине деформации ( ) пружины, будет постоянно за счет смещения поршня вязкого элемента. Это явление уменьшения во времени существующих в деформированном образце полимера напряжений известно под названием релаксации напряжений.

Так как суммарная деформация в модели Максвелла является суммой деформаций пружины и поршня , или:

, (19)

Подстановка в (19) выражений (1) и (18) дает:

, (20)

Напряжение, действующее в обоих элементах одинаково: . Выражение (20) является линейным дифференциальным уравнением относительно .

Рассматривая поведение тела Максвелла для случая релаксации напряжения, когда , уравнение (20) принимает вид:

, (21)

Т.е. скорость релаксации напряжений зависит от значений , , . Интегрируя (21) и определяя постоянную интегрирования из условия при получаем следующую экспоненциальную зависимость:

, (22)

Величина имеет размерность времени и называется временем релаксации . Физический смысл времени релаксации состоит в том, что по истечении промежутка времени величина первоначального напряжения уменьшается в раз, т.е. составит около первоначального значения .

В том случае, если к телу Максвелла приложено постоянное напряжение , то уравнение (20) превращается в уравнение (1), описывающее течение ньютоновской жидкости. Модель Максвелла позволяет удовлетворительно имитировать поведение линейных полимеров. Для сшитых полимеров, деформация которых ограничена пространственной структурой, используют модели Кельвина-Фойхта.

2. Вязкоупругое тело Кельвина-Фойхта.

Представляет собой комбинацию из параллельно соединенных упругого и вязкого элементов. Дифференциальное уравнение составляется исходя из условия, что деформация упругого элемента равна деформации вязкого: , а суммарное напряжение в любой момент складывается из напряжений, действующих в упругом и вязком элементах: . Уравнение, описывающее поведение этой модели имеет вид:

, (23)

Рассмотрим решение этого уравнения для двух режимов:

Первый: к телу мгновенно приложена постоянная сила, вызывающая напряжение . При этом условии решение (23) представляется так:

, (24)

Величина в данном случае является своеобразным аналогом времени релаксации и называется временем ретардации или запаздывания: . Из (24) видно, что равновесное значение деформации для модели Кельвина-Фойхта, равное , не достигается сразу, а требует своего развития теоретически бесконечного большого времени (рисунок).

Физический смысл времени ретардации состоит в том, что по истечении времени деформация достигает своего предельного значения.

Можно ввести характеристику упругих свойств, т.н. податливость , обратную модулю упругости. Тогда уравнение (24) запишется в виде:

, (25)

Второй: режим мгновенной разгрузки. Пусть тело Кельвина-Фойхта сдеформировано силой, вызывающей напряжение , действующей в течение времени много большего, чем время запаздывания . Затем эта сила мгновенно снимается. Под действием упругой энергии, запасенной в теле, начинается процесс восстановления, описываемый уравнением:

, (26)

и называющийся релаксацией деформации.