Главные деформации. Инварианты деформации.

12. Удельная потенциальная энергия упругой деформации и ее составные части

Для определения удельной потенциальной энергии,накапливаемой изотропным материалом при линейно упругом деформирование, вырежем главными площадками из тела в окресности рассматриваемой точки еденичный объем. Используя обобщенный закон Гука получаем:

,ε1=(σ1-μ(σ2+σ3))/Ε, ε2=(σ2-μ(σ1+σ3))/Ε, ε3=(σ3-μ(σ1+σ2))/Ε

Далее по методе гребенюка страница 56

13. Виды разрушений.Теория прочности для хрупких и пластичных материалов.

Хрупкое и пластическое разрушение

В начале мы ввели понятия о двух простейших типах разрушения:

1) хрупком– путем отрыва от наибольших растягивающих нормальных напряжений ;

2) пластичном – путем сдвига от максимальных касательных напряжений .

Схематически эти условия пока­заны на рис.22.2 с помощью прямых 1-1 и 2-2.

Свойство материала разру­шаться пластически (вязко) или хрупко не является абсолютным. Каждое тело обладает тем и другим свойством в большей или меньшей степени в зависи­мости от температуры, внешне­го давления, скорости нагружения, времени нагружения и др.

Рис. 22.2

Пусть напряженное состояние в точке тела описывается ок­ружностью Мора 1 (рис. 22.2), которая касается вертикальной прямой 1-1 и не пересекает прямой 2-2, в этом случае прои­зойдет хрупкое разрушение материала путем отрыва, и критерий разрушения запишется в виде:

. (22.1)

Сопротивление отрыву R считается постоянной величиной, не зависяшей от вида напряженного состояния. Если окружность Мора касается горизонтальной прямой 2-2, то наступает те­кучесть материала при касательном напряжении , которая может привести, а может и не привести к большим дефор­мациям.

Изложенная простая схема разрушения носит довольно грубый и приближённый характер в силу того, что разрушение является смешанным. Однако представление о существовании двух видов разрушения материалов путём сдвига и отрыва имело и имеет положительное методическое значение для объяснения физической стороны вопроса о разрушении.

Ещё одним простейшим критерием хрупкого разрушения материалов является критерий наибольших удлинений Сен-Венана, согласно которому предельное состояние материала в частице тела достигается тогда, когда максимальное растягивающее удлинение достигает некоторого предельного постоянного значения, равного относительному удлинению при разрыве от растяжения, т.е.:

Для хрупкого материала Поэтому получаем:

,

где величину назовём эквивалентным удлинением.

Данный критерий не нашёл на практике должного экспериментального подтверждения. Однако он в некоторых случаях даёт качественное подтверждение характера разрушения материалов. Например, при сжатии ряда горных пород возникают продольные трещины разрушения. При сжатии и выпучивании цилиндрической оболочки из дюраля возникают продольные трещины от окружного растяжения при отсутствии соответствующего растягивающего напряжения и др.

Условия пластичности и разрушения материалов

Условия (критерии) пластичности и разрушения являются важными обобщениями понятий пределов текучести и прочности при одноосном растяжении (сжатии) на случай сложного напряжённого состояния (рис. 22.3).

Рис. 22.3

При одноосном растяжении предельные условия перехода в пластическое состояние и разрушение имеют соответственно вид (рис. 22.3)

а условие прочности –

Предположим, что для любого сложного напряжённого состояния можно найти ему равноопасное одноосное напряжённое состояние, осуществляемое некоторым эквивалентным напряжением

являющимся комбинацией главных напряжений. Тогда предельные условия при сложном напряжённом состоянии могут быть записаны в виде

(22.2)

а условие прочности –

. (22.3)

Такая постановка задачи не является безупречной, но в то же время она удобна для ведения практических расчётов на прочность. Рассмотрим два критерия (условия) перехода тела из упругого состояния в неупругое или пластическое.

Условие пластичности Сен-Венана.

Согласно этому критерию свойство пластичности материала при сложном напряжённом состоянии начинает проявляться тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает некоторого предельного постоянного значения , т.е.

(22.4)

В случае простого растяжения предельное условие имеет место при Поэтому из (22.4) имеем Условие пластичности принимает вид

(22.5)

В случае чистого сдвига имеем Следовательно, должно выполняться условие:

Сравнивая (22.5) с (22.2) видим, что . Условие прочности, согласно (22.3), запишем в виде

. (22.6)

Условие пластичности (22.5) Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспериментами. Его недостатком является то, что не учитывает среднее главное напряжение

Условие (критерий) пластичности Мизеса.

Согласно этому критерию материал переходит в пластическое состояние тогда, когда октаэдрическое касательное напряжение достигает некоторого предельного постоянного значения, т.е.

(22.7)

При простом растяжении это условие соответствует Следовательно, и потому, согласно (22.2),

(22.8)

Следовательно,

.

В случае чистого сдвига Из (22.7) следует Сравнивая значения постоянных при растяжении и чистом сдвиге, находим связь между пределами текучести:

Условие пластичности Мизеса (22.8) лучше соответствует экспериментальным данным, нежели условие пластичности Сен-Венана (22.5). В отличие от последнего, условие пластичности Мизеса учитывает все три главных напряжения Отметим, что условие Сен-Венана и Мизеса дают различные формулы, связывающие пределы текучести и при чистом плоском сдвиге и растяжении.

Теория прочности Мора (1860г.)

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тог­да, когда на некоторой площадке с нормалью возникает наи­более неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Запишем это условие в виде

(22.9)

Чтобы сформулировать условие Мора (22.9) в терминах глав­ных напряжений, воспользуемся кругами напряжений Мора.

Если , то мы можем в одной плоскости построить три окружности Мора (рис.22.4, а). Условие (22.9) изображается в этой плоскости некоторой кривой.

а) б)

Рис. 22.4

Если окружность большого круга Мора не касается предельной кривой, как показано на рис. 22.4, а, то разрушения не произойдет. Если круг Мора коснется предельной кривой (рис.22.4, б), то произойдет локальное разрушение. Следовательно, становится ясным, как построить предельную кривую . Необходимо провести несколько испытаний до раз­рушения при различных однородных напряженных состояниях, т.е. различных сотношениях , а затем построить круги Мора. На рис. 22.5 построены три предельных круга Мора для случаев растяжения чистого сдвига и сжатия. Огибающая этих предельных окружностей и будет предельной кривой. Наиболее просто построить предельные окружности Мора при растя­жении и сжатии (рис. 22.6, а). Проведем к ним касательную и допустим, что эта касательная служит предельной огибающей

Это внесет некоторую погрешность в наши рассуждения.

Рассмотрим теперь произвольную предельную окружность Мора, касающуюся предельной прямой огибающей (рис. 22.6, б). Из подобия треугольников АОВ и CDB следует: .

Рис. 22.5

Рис. 22.6

Поскольку

то

Так как отрезки АО, ОВ, АВ - фиксированы, то получаем связь между и в виде

В случае растяжения в предельном состоянии , и потому . В случае сжатия Следовательно, . Таким образом, условие разрушения по Мору

принимает вид:

(22.10)

Условие прочности для хрупких материалов по Мору принима­ет вид:

, (22.11)

где - допустимое напряжение на растяжение.

Для пластичных материалов ( ) условие (22.10) превращается в условие прочности по Сен-Венану. Отметим, что у некоторых пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии различны, т.е. . В этом случае условие Мора (22.10) преобразуется в условие пластичности для таких материалов:

(22.12)