8. Понятие о перемещениях при деформации. Линейные и угловые. Тензор деформации.

Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.

Рассмотрим точку ненагруженного тела и ее новое положение после приложения нагрузки. Вектор называется вектором перемещения точки (рис.3.2).

Рис.3.2. Вектор перемещения точки

Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования — такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела — такие перемещения изучает теория упругости.

Обозначим проекции вектора перемещения точки на координатные оси через соответственно. Они равны разности соответствующих координат точек и :

и являются функциями координат:

Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами вырезанный из упругого тела около произвольной точки , вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.

На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда: и длина ребра равна а ребра —

Рис.3.3. Линейные и угловые деформации

После деформации точки принимают положение При этом точка получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и Точка отстоящая от точки на бесконечно малом расстоянии получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты

Составляющие перемещения точки будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты

Длина проекции ребра на ось после деформации:

(3.5)

Проекция абсолютного удлинения ребра на ось

Относительное удлинение вдоль оси

(3.6)

называется линейной деформацией по направлению оси .

Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей и

(3.7)

Вследствие малости деформаций а линейной деформацией можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда

Аналогичным образом можно определить угол поворота ребра в той же плоскости:

Искажение прямого угла называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

(3.8)

Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:

(3.9)

Формулы (3.6)-(3.9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:

(3.10)

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки

Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным — укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным — в противном случае.

Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций

(3.11)

Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.