7. Потенциал двойного слоя

h и считаем конечными.

Пусть - двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью, и на ней распределены диполи с плотностью моментов , так, что оси их в каждой точке совпадают с положительным направлением нормали, то потенциал этого поля, созданного этими диполями: - потенциал двойного слоя.

Пусть - двусторонняя поверхность с фиксированным направлением нормали. Вообразим, что в положительном направлении нормали мы отложили отрезки длинною . ГМТ концов этих отрезков образуют плоскость . Пусть на распределены отрицательные заряды с плотностью , а на - положительные с той же плотностью. Получим «двойной слой» зарядов противоположных знаков, который можно рассматривать как совокупность диполей, распределённых по поверхностям и с плотностью . Потенциал поля, создаваемого диполем, «опирающимся» на элементы поверхностей и , равен . Потенциал поля, создаваемого всеми диполями: . Если устремим к нулю, то получим двойной слой на поверхности , его потенциал , а называется несущей поверхностью. Поскольку , то

Свойство 1. Потенциал двойного слоя определён всюду.

Свойство 2. В точках , не лежащих на несущей поверхности , потенциал двойного слоя является гармонической функцией. Если , то этот интеграл не является несобственным и поэтому:

Свойство 3. при стремлении точки наблюдения к бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

Применим к теорему о среднем: , где .

Свойство 4. Если плотность дипольных моментов непрерывна на (S замкнута), то потенциал двойного слоя имеет разрыв первого рода в точках несущей поверхности со скачком равным . , где и .

8. Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов

Полученные свойства потенциалов позволяют пользоваться ими как удобным аппаратом для решения краевых задач.

Решим первую краевую задачу с уравнением Пуассона.

Задача: найти функцию, гармоническую в области , ограниченную контуром и удовлетворяющую на граничным условиям. Рассмотрим первую краевую задачу: (1) , ищем , дважды дифференцируемую и непрерывную в , удовлетворяющую уравнению и начальным условиям.

Объёмный потенциал : внутри области имеет II производную и: , пусть , .

Пусть , причём, для задача будет ставиться следующим образом: (2) , задачу (1) свели к (2). Ищем её решение в виде потенциала двойного слоя: , она удовлетворяет уравнению и граничному условию (2). Таким образом, получили уравнение, которому удовлетворяет : , из этого уравнения надо найти плотность .

Таким образом, решением краевой задачи будет потенциал двойного слоя с плотностью, удовлетворяющей последнему уравнению.