Оглавление
Оглавление 1
1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 3
a) Физический смысл стационарной задачи 3
b) Примеры 3
c) Понятие о потенциалах 3
d) Постановка задач 3
2. Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия. 4
3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 5
4. Теорема о среднем для гармонических функций 7
5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 8
6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 9
7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 10
a) решение задач с её помощью 10
e) Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке 10
8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 12
a) Объёмный потенциал 13
f) Потенциал простого слоя 15
g) Потенциал двойного слоя 16
h) Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов 17
i) Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 18
9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 19
10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 20
11. Уравнение Бесселя. 21
a) особенность, построение ограниченного решения . 22
j) общее решение, , , , понятие о функциях . 23
k) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 24
l) краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 25
m) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 26
n) Сводная таблица. 27
12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 28
13. Уравнение гипергеометрического типа. 29
a) Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте). 29
o) Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 29
p) Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей. 30
14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов 31
a) Полиномы Лежандра. 31
q) Полиномы Чебышева-Лягера. 32
r) Чебышева-Эрмита. 33
s) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 34
15. Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 36
16. Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 37
17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 38
Уравнение Лапласа и Пуассона.
Уравнение
вида:
или
-
называется уравнением Лапласа.
-
неоднородное уравнение Лапласа –
уравнение Пуассона.
Обобщим
эти уравнения:
,
где р
– некоторая точка трёхмерного
пространства.
Система
Коши – Римана:
|
Функции
u(x,y)
и v(x,y),
удовлетворяющие этой системе,
удовлетворяют уравнение Лапласа.
Например, такая комплексная функция:
|
,
если
аналитическая,
то обе части
решения удовлетворяют уравнению
Лапласа:
и
