7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.

- гармоническая везде, кроме точки , в ней она имеет особенность. Рассмотрим более обобщённый случай. - краевая задача – общий вид – с эллиптическим уравнением.

Функцией Грина будем называть решение следующей задачи: (4’) .

1. Решение задач с её помощью

Пусть - решение задачи (1’), а , воспользуемся второй формулой Грина, её можно применять для : . Перепишем эту формулу для нашего случая: .

Рассмотрим последний интеграл отдельно для всех трёх типов краевых задач:

т.о. можно написать, что: - решение (1’) с учётом краевых условий.

5. Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке

в одномерном случае ( : ) задача (4’) будет иметь вид:

, её решение – функция Грина:

Рассмотрим интервал

Выбираем решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при . Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция . Это решение существует везде на отрезке , оно может быть использовано для построения функции Грина.

Рассмотрим интервал .

Пусть тогда - решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при , Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция .

Склеим эти два куска так, чтобы в точке выполнялось (*). Там есть две производных, и при любом разрыве будет бесконечность. Возьмем окрестность точки размера δ и проинтегрируем левую часть (*): . Интегрируем: , пусть , тогда

, т.о. т.о. получили уравнение, связывающее две неопределённые константы. Второе уравнение можно получить, приравняв два решения в точке разрыва: . Имеем систему однородных линейных уравнений для нахождения и : , решаем: , где определитель Вронского: , мы можем построить не бесконечную и непрерывную функцию Грина.

Из теории ОДУ знаем, что , докажем: , чтд.

Сделаем эту постоянную выбором и . , и тогда функция Грина:

. Излом первой производной соответствует -функции. - линейные функции.

с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)

8. Теория потенциалов, определение, основные свойства.

Пусть в точке расположен заряд величины , тогда в любой точке пространства будет создаваться поле, потенциал которого: . Для системы зарядов, потенциал имеет вид: .

Диполь: Пусть в точках и расположены заряды, величиной –e и +e. - момент диполя, будем сближать точки и , сохраняя величину (увеличивая e), то в пределе при получим точечный диполь, расположенный в точке Q, потенциал которого равен: .

Рассмотрим интеграл: , - интегрируема (непрерывна) везде, кроме , если . Рассмотрим его сходимость и непрерывность.

Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любого существует такое , ( ), что для любой точки , ( - окрестность т. , ) выполняется : .

Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки , то существует и непрерывна в точке .

Доказательство: разобьём на 2 функции: , рассмотрим разность: (она мала, если и близки).

Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности , то берём и выбираем такое , что и , тогда выполняется и . Так как , то интеграл не является не собственным, и непрерывна в точке . Значит, для того же существует такое , что выполняется . Пусть , тогда выполняется , и , а следовательно и .

Чтд.

Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.

При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.