17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.

Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи .

Построим систему базисных функций, для этого решим задачу: найти значения , при которых задача имеет не тривиальное решение. Будем решать задачу методом разделения переменных. Пусть , подставляем, домножив на и получаем: , получаем две задачи: и (5) . Решаем (4). или (тоже самое) , для того чтобы выполнялась периодичность должно быть целым: . Тогда . Решаем (5). Сделаем замену: , учтем что тогда . Делим (5) на : , получили уравнение для присоединённых функций Лежандра. Тогда получаем решение: .

П

m

олучили, что каждой паре целых чисел при условии соответствует:

- система базисных функций. Каждому соответствует и базисных функций. (Чтобы их можно было называть базисными, нужно иметь в виду, что они являются базисными в пространстве функций на сфере).

Эти сферические функции ортогональны между собой: , т.е. сферические функции образуют ортогональную систему в области .

Полученная система базисных функций является полной системой.

Теорема о разложении. Пусть - функция дважды непрерывно дифференцируемая , без особенностей, разлагается в ряд по сферическим функциям: , абсолютно и равномерно сходящийся, где коэффициенты определяются по формуле .

17