14. Сводная таблица.

Лапласиан в цилиндрических координатах:
Лапласиан в сферических координатах:
Уравнение Бесселя: (уравнение для цилиндрических функций)
решение уравнения Бесселя при (асимптотика):
Функция Бесселя первого рода:	;
Модифицированное уравнение Бесселя:
Модифицированная функция Бесселя:	;
Функция Неймана:	;
Функции Ханкеля:	;
Функция Макдональда:
рекуррентные соотношения:	1) 2)
функция Бесселя полуцелых порядков:	;
рассмотрим краевую задачу (задачу на собственные значения и собственные функции):	, где
Ортогональность (и нормировка):

12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .

Рассмотрим уравнение: (*) и пусть - имеет два ноля.

Известно ограниченное решение в точке b, а также ограниченное решение в точке a. Возможен случай, когда решение в точке перейдёт в ограниченное решение в точке : . Но в общем случае всё множество решения, как правило, неограниченно. Исключительная ситуация может быть в случае нулевого решения. Таким образом возникает задача нахождения таких собственных значений λ, при которых задача - при - имеет нетривиальное решение; роль граничных условий здесь играет требование на ограниченность решения

Полученные функции, отвечающие различным собственным значениям, будут ортогональны, то есть оператор должен быть самосопряжённым.

Самосопряженность оператора

Используя 2-ую формулу Грина получаем:

13. Уравнение гипергеометрического типа.

1. Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).

Рассмотрим уравнение: (1) - уравнение гипергеометрического вида, где - полиномы порядка , а - полиномы порядка .

Домножим (1) на , подобрав её так, чтобы уравнение (1) приняло самосопряжённый вид: . Для этого нужно, чтобы - дифференциальное уравнение для , тогда получим: (1*) - самосопряжённый вид уравнения (1). Определим : - весовые функции.

Это свойство одномерной задачи. Т.к. вид оператора отличается от . Самосопряжённая форма (*) большое ограничение.

15. Решение в виде полиномов. Формула Родрига.

Пусть - решение уравнения . Продифференцируем: . Обозначим , тогда . Производная решения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида. Далее можно повторить это действие, введя аналогичную замену: и т.д. Следовательно - решение различных уравнений гипергеометрического вида.

Определим коэффициенты и . Посмотрим, как они изменятся дальше. , .

Запишем: , дифференцируем: . . Найдем . Рассмотрим - сложим все эти разности и получим:

Таким образом: . Приведём (2) к самосопряжённому виду. (2) – уравнение для производных. (2*) , где - весовые функции.

Каждому целому можно указать такие значения , что . Т.е. , при таком выборе , уравнение приобретает новые качества: и новый вид . Тогда , положим эту константу равной нулю, тогда - многочлен степени . Таким образом, мы нашли бесконечную цепочку полиномов – решений уравнения при соответствующих значения . Это система - нормальная система полиномов образует базис. Вспомним , перепишем в виде: . Рассмотрим . Для воспользуемся при пока (т.е. пока можно делить) .

Запишем в чистом виде: - формула Родрига.