67. Дайте понятие методу максимального правдоподобия.

Метод предложен Р. Фишером в 1912 г. Метод основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x₁, x₂, …, x_n). Эта вероятность равна f(х₁, T) f(х₂, T) … f(х_п, T) dx₁ dx₂ … dx_n.

Метод максимального правдоподобия позволяет получить состоятельные, эффективные (если таковые существуют, то полученное решение даст эффективные оценки), достаточные, асимптотически нормально распределенные оценки. Этот метод может давать как смещенные, так и несмещенные оценки. Смещение удается устранить введением поправок. Метод особенно полезен при малых выборках. Оценка инвариантна относительно преобразования параметра, т.е. оценка некоторой функции j (Т) от параметра Т является эта же функция от оценки j (q ). Если функция максимального правдоподобия имеет несколько максимумов, то из них выбирают глобальный.

67. В чем заключается сущность мегода наименьших квадратов?

Пусть задана некоторая (параметрическая) модель вероятностной (регрессионной) зависимости между (объясняемой) переменной y и множеством факторов (объясняющих переменных) x ,

где   - вектор неизвестных параметров модели

 - случайная ошибка модели.

Пусть также имеются выборочные наблюдения значений указанных переменных. Пусть   - номер наблюдения ( ). Тогда   - значения переменных в  -м наблюдении. Тогда при заданных значениях параметров b можно рассчитать теоретические (модельные) значения объясняемой переменной y:

Тогда можно рассчитать остатки регрессионной модели - разницу между наблюдаемыми значениями объясняемой переменной и теоретическими (модельными, оцененными):

Величина остатков зависит от значений параметров b.

Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b, при которых сумма квадратов остатков будет минимальной:

67. Сформулируйте определение интервальной оценки параметров.

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.

67. Что называют доверительным интервалом, доверительной вероятностью?

Доверительный интервал – это диапазон, крайние точки которого характеризуют процент определенных ответов на какой-то вопрос.

Доверительная вероятность - доля случаев, в которых среднее ( арифметическое) при данном числе определений будет лежать в определенных пределах. Доверительная вероятность связана с двухсторонней - верхней и нижней - границей разброса среднего значения выборки.

67. От чего зависит величина доверительного интервала?

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надежности г (уровня значимости г= 1 - б). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности г к единице -- увеличивается. Выбор б (или г = 1 - б) определяется конкретными условиями. Обычно используется б=0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

67. Что называют предельной ошибкой выборки?

Предельная ошибка - максимально возможное расхождение средних или максимум ошибок при заданной вероятности ее появления.

67. Какие подходы могут быть реализованы при построении интервалов?

Первый подход, если его удается реализовать, позволяет строить доверительные интервалы при каждом конечном объеме выборки п. Он основан наподборе такой функции  , называемой в дальнейшем статистикой, чтобы

1)  ее закон распределения был известен и не зависел от θ;

2)  функция   была непрерывной и строго монотонной по θ.

Задавшись доверительной вероятностью γ, связанной с риском α формулой γ = 1 – α, находят двусторонние критические границы   и  , отвечающие вероятности α. Тогда с вероятностью γ выполняется неравенство

. 

Решив это неравенство относительно θ, находят границы доверительного интервала для θ. Если плотность распределения статистики   симметрична относительно оси Оу, то доверительный интервал симметричен относительно  .

Второй подход, получивший название асимптотического подхода, более универсален; однако он использует асимптотические свойства точечных оценок и поэтому пригоден лишь при достаточно больших объемах выборки.

67. Запишите формулы доверительной вероятности для средней и доли.

67. Дайте понятие средней квадратической (стандартной) ошибки выборки и перечислите ее свойства.

Стандартная ошибка – это стандартное отклонение оценок, которые будут получены при многократной случайной выборке данного размера из одной и той же совокупности.

67. Как найти объем выборки?

Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. 

На практике используется несколько подходов к определению объема выборки. Обратим внимание на самые простые из них. Первый из них называется произвольным подходом и основан он на применении «правила большого пальца».

Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5 % от совокупности. Данный подход простой и доступный в исполнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством является относительная дешевизна затрат. В соответствии со вторым подходом объем выборки может быть установлен исходя из заранее оговоренных условий. Заказчик маркетингового исследования, например, знает, что при изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000 – 1200 человек, поэтому он рекомендует исследователю придерживаться данной цифры.

Третий подход означает, что в некоторых случаях главным аргументом при определении объема выборки может быть стоимость проведения опроса. Хотя при этом ценность и достоверность получаемой информации не принимается в расчет.

В случае четвертого подхода объем выборки определяется на основе статистического анализа. Данный подход предполагает определение минимального объема выборки с учетом требований к надежности и достоверности получаемых результатов.

Пятый подход считается наиболее теоретически обоснованным и правильным подходом в определении объема выборки. Он основан на расчете доверительного интервала.