- •1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •2. Правило Лопиталя.
- •3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
- •4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
- •7. Асимптоты графика функции.
- •8. Свойства неопределенного интеграла.
- •9. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
- •11. Определенный интеграл.
- •12. Свойства определенного интеграла.
- •13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
- •14. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Длина дуги плоской кривой.
- •16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
- •17. Понятие функции нескольких переменных.
- •18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
- •21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •23. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
- •26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши
- •28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •29. Комплексные числа и действия над ними.
- •30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •31. Метод вариации произвольной постоянной.
- •32. Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
- •33. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд
- •34. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами.
- •35. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена.
1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
2. Правило Лопиталя.
3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
7. Асимптоты графика функции.
8. Свойства неопределенного интеграла.
9. Таблица основных неопределенных интегралов.
10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
11. Определенный интеграл.
12. Свойства определенного интеграла.
13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
14. Формула Ньютона-Лейбница.
15. Длина дуги плоской кривой.
16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
17. Понятие функции нескольких переменных.
18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
23. Условный экстремум функции нескольких переменных.
24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
25. Метод наименьших квадратов (для случая f(x)=ax+b).
26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши
28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
29. Комплексные числа и действия над ними.
30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
31. Метод вариации произвольной постоянной.
32. Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
33. Необходимое условие сходимости числового ряда.
34. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами.
35. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
39. Ряды Тейлора и Маклорена.
1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
1)Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.
2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.
3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).
4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).
2. Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел конечный или бесконечный.
Раскрытие /. Второе правило.
Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.
Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.
Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0
3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Убыв. и возраст. ф-ии назыв. монотонностью.
Достаточное условие возрастания(убывания): f(x) – возвраст. на Х, если для любых х1, х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)<f(x2). f(x) – убыв. на Х для любых х1,х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)>f(x2).
4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
хо назыв. т. локального max f(x) если сущ. некот. окрестность Ve(xo), то для любых. х принадлеж. Ve(xo) x≠xo, f(xo)>f(x)
f(xo)<f(x), то xo – т. лок. min
Эти точки назыв. точками лок. экстремума, значение ф-ии в этих точках назыв экстремумами.
Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.
Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:
- если с “+” на “-”, то х0- т. max
- если с “-” на “+”, то х0- т. min
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Глобальный экстремум – наиб. и наим. знач. ф-ции на огран. замкнутом мн-ве.
1.Нахождение производной f’(x).
2.Решаем уравнение f’(x)=0, находим критические точки, в которых производная=0, или не существует.
3.Критическими точками разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной на каждом интервале. Если f’(x) меняет знак с + на - , то это точка max, если с – на +, то это точка min. Если производная не меняет знак, то функция f(x) в этой точке экстремума не имеет.
6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.
Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.
Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.