21. Макросистемы. Понятие о вероятности. Функция распределения.

Понятие о вероятности: Т к газ состоит из большого числа движущихся частиц, то возник вопрос о том, с какими скоростями движутся частицы газа — его молекулы.

Английский физик Дж. Максвелл построил первую теорию идеального газа, в которой состояние газа задавалось не положением и скоростью каждой частицы, а функцией распределения — вероятностью найти молекулу с заданной скоростью в заданном месте сосуда. Для того чтобы упростить изложение, предположим, что сосуд разбит на маленькие кубические ячейки с ребром, например, в 1 мм и что нас интересуют не точные координаты молекулы, а лишь то, в какой ячейке она находится. Скорости мы тоже будем задавать не точно, а считая, например, все скорости молекулы, двигающейся здесь вдоль оси ОХ, отличающиеся не более чем на 1 мм/с, одинаковыми. Тогда и скорости представляется возможным задавать ячейками, на которые можно разбить трехмерную диаграмму; по осям ее отложены компоненты скоростей v_x, v₃y, v_z, а точка изображает скорость частицы. Если на молекулы газа не действуют никакие силы, например сила тяжести или электрическое поле, то молекула будет одинаково часто бывать в любом месте сосуда. Мы говорим, что вероятность найти молекулу в любой ячейке одна и та же. Обозначим эту вероятность через w_i. Очевидно, что сумма w_i, взятая по всем ячейкам, равна 1, так как вероятность найти молекулу в какой-либо ячейке равна 1. Если в сосуде находится N молекул, то в одной ячейке будет находиться в среднем w_iN молекул. w_i не зависит от номера ячейки; i — плотность газа, постоянная вдоль сосуда.

Совсем иначе выглядит вероятность найти молекулу с заданной скоростью или вероятность найти точку в заданной ячейке на диаграмме скоростей.

Из теории Максвелла следовало, что большая часть молекул газа имеет скорость

v* = (m/(2πkT))^1/2 где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, m — масса молекул. Это значение называют наиболее вероятной скоростью.

Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин.

Функция распределения: Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

Т.е. функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события , т.е. события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

22. Функции распределения молекул по скоростям. Распр Максвелла и его анализ.

Скор мол газа имеют различные значения и направ, причем из-за огромного числа соудар, кот ежесекундно испыт мол, скор ее постоянно измен. Поэтому нельзя опр число мол, кот облад точно заданной скоростью v в данный момент времени, но можно подсчитать число мол, скорости кот имеют знач, лежащие между некотор скоростями v₁ и v₂ . На основ теории вероятности Максвелл устан закономер, по кот можно опред число мол газа, скор кот при данной темпер заключены в некотор интервале скоростей. Согласно распред Максвелла, вероятное число молекул в единице объема; компон скор кот лежат в интер от до , от до и от до , опр фун-ей распредя Максвелла

где m - масса мол, n - число молв ед объема. Отсюда следует, что число мол, абсол знач скоростей кот лежат в интер от v до v + dv, имеет вид

Распред Максвелла достигает макс при скорости , т.е. такой скорости, к кот близки скорости больш мол. Площадь заштрихованной полоски с основанием dV покажет, какая часть от общего числа мол имеет скорости, леж в данном интервале. Конкр вид фу-ии распредя Максвелла зависит от рода газа (массы молекулы) и темпер. Давление и объем газа на распр мол по скор не влияет.Кривая распр Максвелла позв найти среднюю арифм скорость

Таким образом,

С ↑темп наиб вероятная скорость↑, поэтому макс распр мол по скоростям сдвиг в сторону бол скоростей, а его абс вел↓. Следов, при нагр газа доля мол, облад малыми скор↓, а доля мол с большими скоростями↑.Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии: где является числом мол имеющих энергию при темп системы , является общим числом мол в системе и — постоянная Больцмана. Поскольку скорость связана с энергией, уравнение может испол для пол связи между темпер и скоростями мол в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма.