27 Сетевая тз: леммы 3-6. Псевдопоток. Циркуляция.

Лемма 3. Связная сеть является деревом когда она не содержит циклов.

Лемма 4: Каждая пара вершин в дереве соединяется единственной цепью.

Лемма 5: Если дерево сети U( ) U\U^*

то эта частичная сеть содержит ровно 1 цикл.

Замечание 1: Однородная система линейных алгебраических уравнений всегда совместна. Если эта система n n, то она имеет единственное решение, если определитель 0.

Замечание 2: Если к системе добавить еще один столбец то система становится линейно независимой.

Определение: Матрицу поставим в соответствие СЛОАУ (эта система будет иметь единственное решение)

Множество дуг сети S={I,U} называется полным (базисным), если однородная система (1)

имеет только нулевое решение для всех , но дуги имеет ненулевое решение

Определение: Совокупность æ=( æ ) называется псевдотоком на сети S, если в каждой вершине для этой совокупности выполняется условие баланса

æ æ

Лемма 6: Сеть с нулевыми интенсивностями вершин допускает бесконечное множество псевдотоков, если в этой сети имеется цикл.

28. Сетевая тз: критерий полноты множества дуг, базисный поток.

Теорема1(критерий полноты мн-ва дуг): в сети S с мн-вом вершин I и U подмн-во явл-ся полным  когда частичная сеть S_Б={I,U_Б} явл-ся деревом сети S. Опр5: пусть U_Б полное мн-во дуг. Поток x=(x_ij, (i,j)%U) наз-ся базисным, если x_ij=0, для любого (i,j)%U_Н=U\U_Б. Опр6: поток x наз-ся невырожденным, если базисные компоненты >0, x_ij>0, (i,j)%U_Б. Базисный поток. {i,j} – ребро, соединяющие вершины; (i, j) – дуга, упорядоченное мн-во, имеет направление. Вершины i и j – граничные вершины. Если все вершины различны, то наз-ют простой цепью. Если сущ-ет цепь, соединяющая любую пару вершин наз-ют связным графом. Рассм. в ориентри-ом графе послед-сть вершин, которая соотв-ет некоторым вершинам пути, (i₁,i₂), (i₂,i₃),…,( i_k-1,i_k). Часть дуг окажутся совпадающимися, а остальные имеют противоположное направление. Они наз-ся прямыми дугами цепи, а дуги, имеющие противоположное направление наз-ют обратными. Дерево – связный граф, у которого число вершин на единицу больше чем ребер. Дерево графа – дерево, включающее все его вершины.

29. Сетевая тз: формула приращения стоимости потока.

Пусть на сети S задана U_Б и соотв-щий ему базисный поток x. Рассм любой другой поток . - приращение потока x. [1]. Каждой вершине , которую наз-ем потенциалом вершин, U_i удовл-ет системе ур-ий [2]. Замечание: система [2] соотв-ет матричному ур-ию . каждая строка матрицы содержит 2 ненулевых элемента 1 и -1 и соотв-ет некоторой базисной дуге (i,j). Ф-ла подсчета оценок: . Формула приращения целевой ф-ии: .