21 Двойственный см: критерий оптимальности

(1)- прямая задача

- двойственная задача

Определение: двойственный план у называется базисным двойственным планом с базисной двойственной матрицей, если и на векторе у выполняется соотношение (3)

Определение: Базисным псевдопланом задачи (1) называется вектор æ= æ

æ = (7)

Теорема 1 (критерий оптимальности): для оптимальности двойственного базисного плана у достаточна, а в случае его невырожденности и необходимо, чтобы выполнялось неравенство æ , при этом псевдоплан является оптимальным планом задачи (1).

22 Двойственный см: достаточное условие неразрешимости задачи

(1)- прямая задача

- двойственная задача

Определение: копланом задачи (1) называется вектор

Теорема: Если существует индекс æ и (3) , то ограничения прямой задачи 1 противоречивы.

Док-во: пусть у неоптимальный базисный план. - соответствующий ему коплан для которого имеет место (3). , - номер неотрицательной компоненты.

Построим новый коплан по правилу (4)

, æ

При в 3-ей формуле соотношения (4) на не накладывается никаких ограничений. Т.е. целевая ф-ция двойственной задачи не ограничена снизу. А это означает, что прямая задача не имеет планов. 

23 Двойственный см: улучшение базисного коплана (итерация)

Рассмотрим случай, когда для каждой не удовлетворяющей критерию оптимальности базисной компоненты псевдоплана æ <0, .

Тогда осуществим построение нового коплана по правилу

. Тогда при базисные компоненты

Для небазисных компонент

В противном случае, если , то может стать отрицательным.

Найдём max значение б при котором все компоненты .

Для такого значения и построенного приращения коплана

Переход от старого базисного коплана к новому базисному коплану называется итерацией двойственного симплекс-метода.

Замечание: как выбрать : любой индекс где нарушается æ

æ =min æ

æ <0

24.Алгоритм двойственного см.

Счит заданным J_Б, A_Б, A , небазисные компон коплана.

у^Т = С A , δ = С A - С

У^Т

1. вычисляем базисные компоненты æ_Б = A b

2. проверка критерия оптимальности: если æ_t 0 , то æ– оптимальный план. В противном случае шаг 3.

3. находим индекс t_* среди базисных такой, что выполняется соотношение æ æ , , æ <0

4. вычисляем вектор , и в каждом векторе выбираем компон . Их будет столько, сколько небазисных векторов.

Проверка.

Теорема 2: Если компонента выбрана на 4 шаге, ….

6. находим значения δ по формуле

7. находим

8. формируем

9. вычисляем новые значения небазисных компонент коплана по следующим формулам:

10. формируем и вычисляем обратную базисную матрицу к ней.

Замечание 2: Шаг 4 с точки зрения программирования можно осуществить иначе:

(

Замечание 3: На шаге 10 можно воспользоваться формулами