3.2. Булева алгебра. Алгебра высказываний
Не вдаваясь в суть высказывания, будем считать, что о каждом высказывании можно сказать истинно оно (и) или ложно (л).
Из простых высказываний можно составлять (сложные) составные высказывания.
Простые связки
Определение. Дизъюнкция.
Пусть p и q высказывание. Дизъюнкцией называется сложное высказывание p q, читаемое «p или q», заданное таблицей истинности.
-
p
q
p q
и
и
л
л
и
л
и
л
и
и
и
л
Пример. p = (Джон умен),
q = (Билл умен),
p q = Джон или Билл умен.
Определение. Конъюнкция.
Пусть p и q высказывание. Конъюнкцией называется составное высказывание p q, читаемое «p и q», заданное таблицей истинности.
-
p
q
p q
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
л
л
Пример. p = (Джон умен),
q = (Билл умен),
p q = Джон умен и Билл умен = Джон и Билл умны.
Определение. Отрицание.
Пусть p
высказывание. Отрицанием высказывания
р
называется высказывание
(читается «неверно, что р»),
заданное таблицей истинности.
-
р
и
л
л
и
Пример. p = (Джон умен),
= Джон глуп.
Свойства дизъюнкции, конъюнкции и отрицания
1.
,
коммутативность
2.
1.
,
ассоциативность
2.
,
дистрибутивность
Доказательство вытекает из совпадения таблиц истинности.
Теорема
двойственности. 
Доказательство следует из таблиц истинности.
Пример. p = (Джон умен),
q = (Билл умен),
Запись
читается следующим образом:
Не верно, что Джон умен или Билл умен = Джон глуп и Билл глуп.
Запись
читается следующим образом:
Не верно, что Джон умен и Билл умен = Джон глуп или Билл глуп = либо Джон глуп, либо Билл глуп.
Определение. Импликация читается как «если p, то q», «если верно p, то верно q». Импликацией «если p, то q» называется высказывание p q, заданное таблицей истинности.
-
p
q
p q
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
и
Замечание. Две последние строчки в таблице истинности следует понимать следующим образом. Когда высказывание р ложно, мы оправдываем импликацию p q «за недостаточностью улик» и рассматриваем ее как истинную.
Определение. Двойная импликация. p q. «p, если и только если q».
Двойная импликация. p q означает, что если р истинно, то q истинно, а если р ложно, то q ложно и задается таблицей истинности.
-
p
q
p q
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
л
и
Метод доказательства от противного. (косвенный метод доказательства).
Теорема. Утверждение
p
q
эквивалентно
.
Пример. р
= 
произведение двух чисел х
и y
нечетное число.
q = x и y нечетные числа.
Справедлива теорема «p q», то есть «если произведение двух чисел нечетное число, то x и y нечетные числа».
Доказательство
(от противного). Предположим, что q
неверно, то есть либо х,
либо y
четное число, например,
.
Тогда для произведения имеем
четное число, то есть р
неверно. Мы приходим к противоречию.
Следовательно, верно утверждение q.
Схема доказательства такова. Доказывается , а это означает p q.
Проверим, что для этих высказываний таблица истинности одна и та же.
-
p
q
p q
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
и
л
и
л
и
л
л
и
и
и
л
и
и
Столбцы p q и совпадают.
В булевой алгебре высказываний можно упрощать сложные высказывания аналогично упрощениям в обычной алгебре.
Примеры решения задач
Пример 1.
Для высказываний p
и q
проверить справедливость равенств
.
Построить таблицы истинности.
р = (Билл здоров); q = (Смит здоров).
Равенство
означает «неверно, что Билл здоров или
Смит болен, а верно то, что Билл болен
и Смит здоров».
Таблица истинности имеет вид:
p |
q |
|
|
|
|
|
и и л л |
и л и л |
л л и и |
л и л и |
и и л и |
л л и л |
л л и л |
Два последних столбца в таблице совпадают. Это означает, что равенство справедливо.
Задача 1:
Для высказываний p
и q
построить составные высказывания p
q,
p
q,
p
q,
p
q,
p
q,
p
q
в языковой форме. Проверить справедливость
равенств
,
.
Для p
q построить
таблицу истинности.
p =( Джонс выдержал экзамен ); q = (Смит выдержал экзамен ).
p =( Джонс умен); q = (Смит умен).
p =( Джонс здоров); q = (Смит здоров).
p =( Джонс богат); q = (Смит богат).
p =( Жан любит Наташу); q = (Наташа любит Жана).
p =(холодно); q = (идет дождь).
p =( жарко); q = ( солнечно ).
p =( Джонс умен); q = (Смит богат).
p =( сегодня холодно); q = ( вчера шел дождь).
p =( Джонс красив); q = (Смит красив).