5.Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения. Полярный момент инерции и момент сопротивления. Кручение бруса с круглым поперечным сечением

Во всех точках поперечного сечения бруса при поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения (на рис. 5.1,6 эти напряжения показаны в точках, отстоящих на расстоянии Y от оси X):

Рис. 5.1

Условные обозначения.

M_x, Q - внутренние усилия: изгибающий момент и поперечная сила, они изменяются вдоль бруса и определяются с помощью построения эпюр;

у - координата точек поперечного сечения, в которых определяются напряжения;

b - ширина сечения в месте определения касательных напряжений;

J_x - главный центральный момент инерции -момент инерции относительно центральной оси х,

с_x* - статический момент относительно нейтральной оси ж той части площади поперечного сечения, которая расположена выше (или ниже) продольного сечения - выше или ниже уровня у, в точках которого определяются касательные напряжения.

Эти формулы выведены в главных центральных осях поперечного сечения бруса. На рис. 5.1 это оси X, У. При этом ось Y совпадает с осью симметрии сечения, а ось X, перпендикулярная плоскости изгиба, проходит через центр тяжести сечения и является нейтральной осью: нормальные напряжения в точках этой оси равны нулю. Ось Z - ось бруса.

Таким образом, на уровне у напряжения, определяемые вышеприведенными формулами, постоянны, не зависят от координаты X.

С увеличением координаты у нормальные напряжения увеличиваются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках достигают наибольшего значения:

Для расчетов используется специальная геометрическая характеристика - момент сопротивления сечения при изгибе:

Касательные напряжения, наоборот, уменьшаются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках обращаются в нуль, а а области нейтральной оси достигают наибольших значений (рис. 5.1,г). Кроме того, наибольшие значения касательных напряжений значительно меньше максимальных значений нормальных напряжений: так для консольного стержня прямоугольного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенной силой на свободном конце, отношение максимальных значений этих напряжений

где l, h - длина бруса и высота его поперечного сечения.

Поэтому, при l >> h, что имеет место в большинстве случаев, касательные напряжения по сравнению с нормальными пренебрежимо малы и при расчетах на прочность не учитываются.

Условие прочности имеет следующий вид:

 - допускаемое напряжение.

Процесс расчета бруса на прочность следует вести в определенной последовательности. При этом необходимо:

1. Определить весь комплекс внешних сил, в том числе и реакций опор.  Прежде всего, необходимо определить все реакции опор, так как реакции входят в число внешних сил. Если при этом число реакций равно числу линейно независимых уравнений статики, то все реакции находятся из статических уравнений.

2. Построить эпюры внутренних усилий, по которым определить опасные сечения.  Построение эпюр внутренних усилий выполняется с использованием метода сечений и начинается с деления бруса на участки. Границами участков служат места приложения сосредоточенных сил или моментов, места начала и конца действия распределенных нагрузок.

Далее на каждом участке выбирается произвольное сечение, для которого составляются выражения для определения внутренних усилий, по которым строятся эпюры (графики) этих усилий.

По эпюрам внутренних усилий определяются опасные сечения, в которых эти усилия достигают наибольших значений.

В большинстве случаев основным внутренним усилием при расчетах бруса на прочность является изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения.

3. В опасных сечениях определить максимальные нормальные напряжения и для наибольшего из этих напряжений проверить выполнение условия прочности.

После определения положения опасных сечений с наибольшими значениями изгибающих моментов, в этих сечениях вычисляют наибольшие нормальные напряжения:

а) Для брусьев из пластичного материала, при равенстве по величине пределов текучести при растяжении и сжатии, наибольшие расчетные напряжения возникают в "опасных" точках, которые наиболее удалены от нейтральной оси.

Эти напряжения сравниваются с допускаемым напряжением  :

после чего делается заключение о прочности бруса.

б) Если же брус изготовлен из хрупкого материала: , то в опасных сечениях наибольшие нормальные напряжения определяются и в растянутых, и в сжатых   зонах поперечного сечения и путем сравнения их с соответствующими допускаемыми напряжениями при растяжении   и сжатии  :

решается вопрос о прочности бруса.