37.Кривые распределения, их характерные точки и статистические параметры

Визуальное представление о распределении частот становится еще более наглядным при граф изобр-нии данных. Граф изобр-ние вариационного ряда наз-ся кривой распределения (вариационная кривая).Для построения кривой распределения на оси ОХ наносят значения интервала группировки, а по оси ОУ – численности этих значений, или частоту m. (высота графика должна относиться к его ширине примерно как 5 : 8.Ступенчатый график в виде столбиков, имеющих высоту, пропорциональную частотам, а ширину, равную интервалам классов, наз-ся гистограммой, из к-рой легко получить полигон – кривую распределения, соединив линией сред значения группы

.

Рис. 48. Распределение переменных величин: а – гистограмма; б – симметричная кивая распределения; в – кривая распределения с положительной асимметрией; г – кривая распределения с отрицательной асимметрией; 1 – среднее арифметическое; 2 – медиана; 3 – мода; d – радиус асимметрии

Центр распределения соответствует среднему арифметическому ряда. Для ряда величин x_i среднее арифметическое определяется по формуле  = 1/n(x₁ + x₂ + … + x_i) = 1/n .

Медиана (М_е) – значение переменной величины, к-рое соот-вует середине вариационного ряда. Мода (М_о) – значение наиболее часто встречающегося варианта в вариационном ряду. Кривые распределения бывают симметр и асимметр. Кривая наз-ся симметричной, если центр распределения, медиана и мода совпадают. Асимметричные распределения– распределения, у к-рых частоты вариантов, находящихся по одну сторону от наибольшей частоты, больше (или меньше) частот, равноудаленных относительно наибольшей частоты. Положительная (правосторонняя) :середина ряда сдвинута вправо от вершины распределения. При отриц (левосторонней) асимметрии частоты сначала медленно возрастают, а затем, достигнув наибол значения, быстро убывают. Среднее арифмет значение переменной величины, определяемое по ф-ле не дает представления об изменчивости переменных величин. Простейшим измерителем изменчивости (или вариации) явл размах вариации R, т. е. разность между наибол и наимен вариантами в вариационном ряду. Коэф-т вариации (С_v), являясь мерой изменчивости той или иной переменной величины, вычисляется для коротких рядов (n ≤ 30) по ф-ле C_v =  где k_i = x_i / – модульный коэф-т переменной величины. Аналогично для рядов изменчивость незначительная, если коэф-т вариации < 10%; средней 10-20; значительной> 20%.

Для хар-ки симметричности ряда вычисляется коэф-т асимметрии С_s:

С_s =  . Принимают,что коэф-т асимметрии равен двойному значению коэффициента вариации (С_s = 2C_v). с n > 30 имеем C_v = 

38.Эмпирические и теоретические кривые обеспеченности

Необходимо определить частоту, или вероятность, появления исследуемой переменной, бóльшей или равной заданному значению. Такие задачи решаются на основе кривых обеспеченности. Эмпирическая кривая – это кривая, для построения которой используются данные фактических наблюдений. Эмпирические обеспеченности могут быть построены двумя способами. Для случаев с длинными рядами (n > 100) построение эмпирической кривой обеспеченности производится след образом. Из ряда переменной величины выбираются ее максимальное и минимальное значения и вычисляется размах изменения переменной R = x_max – x_min. Полученную амплитуду разбивают на интервалы. Обычно назначается порядка 15–20 интервалов. Границы интервалов записываются, начиная от максимального значения переменной.Далее подсчитывается число случаев попадания переменной в каждый интервал.Выражая абсолютные частоты в процентах от общей суммы вариантов, получаем распределение относительных частот.

Последовательно суммируя абсолютные и относительные частоты по интервалам, начиная от максимального интервала, получаем абсолютные и относительные накопленные частоты, или обеспеченности.

Эмпирические кривые распределения и обеспеченности можно представить в виде графиков. При их построении на оси ординат обычно откладываются интервалы переменной, а по оси абсцисс – частота или ее выражение в процентах.

График нарастания частот строится в виде плавной линии. Табл и граф изображение нарастания частот наз эмпирической кривой обеспеченности.

эмпирические кривые обеспеченности строятся и для коротких рядов. В этих случаях для расчета эмпирической кривой обеспеченности применяется следующий прием.

Переменные исходного ряда располагаются в убывающем порядке. Для каждого значения переменной ранжированного таким образом ряда вычисляется эмпирическая обеспеченность (в процентах) по формуле: P_m = m / n100(где n – общее число членов ряда; m – порядковый номер рассматриваемого члена в ранжированном ряду).

По кривой вероятности превышения для какой-л гидролог величины x, откладываемой по оси ОУ, можно опред время (%), на протяжении к-рого любое рассм значение величины x было равно этому значению или превышало его. Величина, к-рая показывает, за сколько лет в среднем будет превышено значение данной гидрологической хар-ки, наз повторяемостью (П). При обеспеченности P_m ≤ 50% повторяемость определяется по ф-ле: П = 100 / P_m, а при P_m > 50% – по формуле:П = 100 / (100 – P_m).

теоретические кривые обеспеченности. Обычно для выбора кривых определяются три параметра: среднеарифметическое значение переменной , коэффициент вариации C_v (и коэффициент асимметрии C_s Оценка достоверности данных наблюдений для установления параметров кривых обеспеченности производится путем расчета относительных средних квадратичных ошибок параметров.Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического (ε , %) вычисляется по формуле

ε = . Относительная средняя квадратическая ошибка коэффициента вариации (ε , %) определяется по формуле ε = 100%. Длина вариационного (статистического) ряда считается достаточной для дальнейших расчетов, если ε  ≤ 5–10%, а ε  ≤ 10–15%. При построении теоретической кривой значения обеспеченности откладываются по оси абсцисс, а соответствующие им значения переменной – по оси ординат.