
- •Пример.
- •Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Матричная форма записи квадратичной формы
- •Пример.
- •Метод Лагранжа и метод Гаусса
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду
- •[Править] Доказательство [править] Критерий положительной определённости квадратичной формы
- •[Править] Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
Квадратичная форма
означает
одно из множеств:
рациональных,
или
вещественных,
или
комплексных
чисел.
Определение
Квадратичной
формой над множеством
называют
однородный
полином
второй степени с коэффициентами из
;
если переменные обозначить
,
то общий вид квадратичной формы от этих
переменных:
П
Функции
являются квадратичными формами. Функции
не являются квадратичными формами.
Заметим,
что в выражении для квадратичной формы
присутствуют как квадраты переменных
так
и их смешанные произведения
.
Говорят, что квадратичная форма
имеет
канонический
вид
если в ее представлении все коэффициенты
при смешанных произведениях переменных
равны нулю, т.е. она имеет вид
говорят также, что форма является «суммой квадратов»1).
Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.
П
Пример.
А в общем случае:
при
—
константах. Такое представление
оказывается достаточно удобным для
анализа квадратичной формы — например,
в случае вещественных форм, при проверке
выполнимости неравенства вида
.
Приведенные выше примеры показывают
неоднозначность представления в виде
суммы квадратов: вид квадратов и даже
их количество для одной и той же формы
могут быть различными. С целью обеспечения
некоторой унификации установим некоторое
дополнительное ограничение — потребуем,
чтобы линейные однородные формы
были линейно независимыми. При таком ограничении любое представление квадратичной формы в виде суммы квадратов называется каноническим видом квадратичной формы.
Задача. Для произвольной квадратичной формы построить (хотя бы один) ее канонический вид.
!
Поставленная задача имеет существенное значение для анализа
произвольного полинома 2) нескольких переменных на максимумы и минимумы;
геометрии линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка в пространстве; например, по набору коэффициентов уравнения, задающего кривую
определить к какому типу (эллипс, гипербола, парабола,…) она относится.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.
Метод Лагранжа
1.
Пусть
.
Выделим в
все
слагаемые, содержащие
:
В
последнем представлении первое слагаемое
представляет собой квадрат линейной
формы по переменным
;
все оставшиеся слагаемые не зависят от
,
т.е. составляют квадратичную форму от
переменных
.
Таким образом, исходная задача для формы
переменных
оказывается сведенной к случаю формы
-й
переменной; последняя преобразуется
по аналогичному принципу.
2.
Если
,
но
,
т.е. при хотя бы одном квадрате переменной
коэффициент отличен от нуля. Алгоритм
модифицируется таким образом, что
выделение полного квадрата начинается
с переменной
вместо
—
первая ничем не лучше (и не хуже)
-й!
3.
Совсем
исключительный случай: квадраты
переменных вообще отсутствуют, т.е.
.
Выбираем один из ненулевых коэффициентов
при смешанных произведениях переменных:
пусть
.
Представляем
и
заменяем все вхождения переменной
на
при
вспомогательной переменной
.
В новой квадратичной форме уже присутствует
квадрат переменной
с
ненулевым коэффициентом. Тем самым этот
случай сводится к предыдущему. После
приведения новой формы к сумме квадратов
возвращаемся к «старой» переменной
.
П
Пример. Привести форму
к каноническому виду.
Решение.
Ответ.
.
П
Пример. Привести форму
к каноническому виду.
Решение.
В
соответствии с алгоритмом, на следующем
шаге нужно выделять слагаемые, содержащие
переменную
,
но коэффициент при
в
правой части формулы обратился в нуль.
Поэтому — в соответствии с пунктом 2
метода
— приходится выделять квадрат на основе
переменной
:
Ответ.
.
П
Пример. Привести форму
к каноническому виду.
Решение.
Коэффициенты при квадратах переменных
все равны нулю. Действуем в соответствии
с пунктом 3
метода
Лагранжа. Поскольку коэффициент при
отличен
от нуля, делаем замену переменной
при
:
Дальнейший ход решения — в соответствии с пунктом 1 метода Лагранжа:
Получили
сумму квадратов форм от переменных
.
Возвращаемся к переменной
:
Ответ.
.
§
Метод
Лагранжа позволяет получить канонический
вид квадратичной формы над тем же
множеством
,
над которым рассматривается исходная
форма — например, если коэффициенты
формы
являются
рациональными, то и коэффициенты ее
канонического вида (т.е. числа
)
будут также рациональными.