Метод кусочно-линейной аппроксимации

Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.

В соответствии с определением данного метода , расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Кусочно-квадратичная интерполяция

В случае кусочно-квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке ( ) принимается квадратичный трехчлен:

, (3)

где .

Для определения неизвестных коэффициентов необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки , , . Эти условия можно записать в виде:

(4)

Интерполяция для любой точки проводится по трем ближайшим точкам. Решив систему (4) относительно , и подставив найденные значения в уравнение (3), получим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени ( ) для трех соседних точек , , :

Кусочно-квадратичной функции является функция, которая дает конкретные квадратичной формулы на «куски» между точками и, если две формулы, по обе стороны от «точки разрыва» дают такое же значение, что перерыв в точке, то она непрерывна, не "кусочно-непрерывные". 

Билет№37

Кубическая сплайн-интерполяция

Интерполирование при разбиении отрезка интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена приобретает существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная.

В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяции сплайнами (от английского слова Spline – рейка).

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

В основе сплайн-интерполяции лежит следующий принцип. Интервал интерполяции разбивается на небольшие отрезки, на каждом из которых функция задается полиномом третьей степени. Коэффициенты полинома подбираются таким образом, чтобы выполнялись определенные условия (какие именно, зависит от способа интерполяции). Общие для всех типов сплайнов третьего порядка требования - непрерывность функции и, разумеется, прохождение через предписанные ей точки. Дополнительными требованиями могут быть линейность функции между узлами, непрерывность высших производных и т.д.

Основными достоинствами сплайн-интерполяции являются её устойчивость и малая трудоемкость. Системы линейных уравнений, которые требуется решать для построения сплайнов, очень хорошо обусловлены, что позволяет получать коэффициенты полиномов с высокой точностью.

Кубический сплайн

Все сплайны, рассмотренные на этой странице, являются кубическими сплайнами - в том смысле, что они являются кусочно-кубическими функциями. Однако, когда говорят "кубический сплайн", то обычно имеют в виду конкретный вид кубического сплайна, который получается, если потребовать непрерывности первой и второй производных. Кубический сплайн задается значениями функции в узлах и значениями производных на границе отрезка интерполяции (либо первых, либо вторых производных).

Билет №38

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок   является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников: 

2. Формуле правых прямоугольников: 

3. Формуле прямоугольников (средних):