3.Вычисление энтропии.

3.1.Энтопия. Общие формулы для энтропии идеального а реального газов.

Энтропия на опыте не определяется, поэтому нужно получить формулы, позволяющие вычислить её значение. Энтропиею называют «тенью энергии», и она, как U, является функцией состояния, т.е. dS – полный дифференциал. Любую из функций состояния можно выразить через любое сочетание термодеформационных параметров состояния, например для термодеформационной системы энтропия может быть выражена через любые сочетания:

S=S(T,v); S=S(T,v); S=S(P,v)

Получим первую группу функций для вычисления энтропии, полагая, что энтропия выражается через сочетание S=S(T,v).

1. S = S(T,v), по правилам математики полного дифференциала функции двух переменных можно для нашего случая записать:

, ранее была получена формула (77) , с ее учетом получим:

Частная производная относится к третьему типу

Окончательно получим формулу для вычисления энтропии любого газа (реального и идеального) в любом процессе:

(88)

Как частный случай рассмотрим идеальный газ:

(89)

Найдем неопределенный интеграл формулы (89):

.

Пусть - среднее значение массовой изохорной теплоёмкости, тогда

(90)

где .

Рассмотрим адиабатный обратимый процесс(S=const).

Проанализируем формулу (90), так как левая часть должна равняться правой части, а , являются const, то выполняется условие:

(91)

(91)- уравнение адиабаты идеального газа, одно из трех уравнений Пуассона.

Для практики наибольший интерес представляет не абсолютное значение S, а её изменение dS.

(*) – возьмём определённый интеграл:

а) Пусть получим:

(92)

из неё можно получить частные зависимости:

(93)

(94)

Энтропия – мера неупорядоченности системы. По 3-ему закону термодинамики (следствие тепловой теоремы Нернста) абсолютный ноль температур не достижим, поэтому при T0 и S0, но не будет равняться нулю.На практике нулевое значение энтропии может быть задано произвольно. Условились за начало отсчёта энтропии принимать 0,1С. Тогда, полагая, что при нормальных условиях S=0 (Рн=101325Па, T_н=273,15 K).

Примечание: в инженерной практике, начало отсчета внутренней энергии U и энтальпии также полагается нормальные физические условия.

Удельный объем при НФУ из уравнения Менделеева-Клапейрона(pv=RT) определяется по этой формуле:

Если в формуле (92) вместо Т1 и v1 взять их значение при НФУ и опустить индексы, как ненужные, то получим формулу:

здесь:

Примечание: По закону Авогадро один Кмоль любого газа при одинаковых условиях занимает один и тот же объём, при нормальных физических условиях 1 Кмоль любого газа занимает объём равный 22,4 м³.

Во всех вышеприведённых формулах c_v – массовая изохорная теплоёмкость – бралась средним значением. Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкости от температуры, т.е. c_v=c_0v+aT подставим

(95) тогда

; .

Принимая за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулы для расчёта энтропии:

,

Получим вторую группу формул для расчёта энтропии:

2. S = S(T,p), алгоритм вывода аналогичен группе 1

(99)

(99)- изменение энтропии любого газа (идеального и реального) в любом процессе).

Частный случай.

Рассмотрим идеальный газ:

(100)

Найдем неопределенный интеграл из формулы (100):

.

Пусть - среднее значение массовой изобарной теплоёмкости, тогда:

, здесь:

.

Рассмотрим адиабатный обратимый процесс(S=const).

При выполнении равенства требуется чтобы:

(101)

Одно из трех уравнений Пуассона.

Вернемся к формуле (100) и возьмем определенный интеграл, и получим:

(102)

Из формулы следует два частных случая:

(103)

, (104)

Если взять за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулу:

(105)

Следует два частных случая:

(106)

(107)

Для случая линейной зависимости теплоемкости от температуры получим зависимости:

,

Отсчитывая энтропию от НФУ получим:

(108)

Получим третью группу формул:

3. S = S(p,v), алгоритм вывода аналогичен первому и второму.

(109)

(109)- справедлива для любого газа в любом процессе.

Рассмотрим идеальный газ (уравнение не упрощается):

, (66)

После подстановки получим:

;

Окончательно:

(110)

Найдем неопределенный интеграл формулы (110):

+S0

Пусть ;

, где k – показатель адиабаты.

Рассмотрим адиабатный обратимый процесс (S=const, dQ=0):

(111)

(111)- уравнение адиабаты идеального газа, или уравнение Пуассона.

Таким образом, имеем три уравнения Пуассона:

;

;

.

Возьмём определённый интеграл формулы (110):

(112)

Полагая за начало отсчёта S нормальные физические условия, получим формулу:

(113)

где

Частные случаи:

p=const: ,

v=const: ,

Вышеприведённые формулы получены в предположении постоянства теплоёмкости. Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкости:

1. c_v=c_0v+aT, c_p=c_0p+aT, где c_0v, a, c_0p – постоянные.

Найдём значение =?:

(114)

Найдем определенный интеграл формулы (114):

(115)

Частные случаи:

(116)

(117)

₍₁₁₈₎

_{Преобразуя формулу (118) получим:}

_{Окончательно:}

Полагая, что S=0 при нормальных физических условиях, получим:

(119)