Билет №12.Разбиение множества. Числа Стирлинга 2-го рода и числа Белла.

Обозначим S (n,m) – число разбиений n – элементного множества на m блоков. Числа S(n,m) называются числами Стирлинга 2-го рода. Теорема: Для любых n,m справедливо равенство: S (n, m) = S (n-1, m-1) + m S (n-1, m) Рекуррентная формула (которая выше) позволяет последовательно вычислять все числа Стирлинга 2-го рода при растущих m и n, учитывая, что S (n, n) = 1 и S (n, 1) = S (n-1, 0) + 1 * S (n-1, 1) = 0+S (n-1, 1) = S (n-2, 0)+1* S (n-2, 1) = … = S (1, 1) = 1. Для вычисления чисел Стирлинга 2-го рода существует также явная формула:

Число всех разбиений n – элементного множества называется число Белла и обозначается В(n). B(0) полагают равным единицы.

Билет №13.Лексикографическое упорядочение постановок.

Перестановка (i₁, i_2,… ,i_n) лексикографически предшествует (<=) перестановки (j₁, j_2,… ,j_n), если существует такое m, что i_k = j_k для 1<=k<m, и i_m<j_m . Алгоритм лексикографического упорядочения следящий:

1.Находим упорядоченный по убыванию «хвост» перестановки наибольшей длины. Если «хвост» совпадает со всей перестановкой, то конец алгоритма иначе шаг 2; 2.Элеемнты, предшествующий «хвосту», меняем с наименьшим элементом «хвоста», большим его; Элементы «хвоста» упорядочиваем в порядке возрастания и возвращаемся к пункту один. При лексикографическом упорядочении номер перестановки (i₁, i_2,… ,i_n) вычисляется по формуле N=a₁(n-1)!+a₂(n-2)!+…+a _n-1 1!, где a_j – количество элементов, меньших i_j ,и стоящих правее его (0 <= a_j <= n-j).