Билет № 14

2. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы.

Теорема 5.1. Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы матрицы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы r. Поэтому можно сказать, что для того чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т. е. r = n.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Покажем, что векторы-столбцы матрицы линейно независимые.

Для любого вектора-столбца матрицы А справедливо равенство ,

где = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)  единичный вектор, у которого единице

равна только j-я координата, остальные координаты равны нулю.

Действительно, .

Составим линейную комбинацию векторов с числовыми коэффициентами и заменим в этой комбинации все эти векторы на , получим

.

Покажем, что данная линейная комбинация равна нулевому вектору  только при нулевом наборе числе . Для этого равенство

умножим слева на обратную матрицу , которая по условию теоремы существует, получим



 

 

 .

Так как векторы линейно независимые, то последнее равенство выполняется только при нулевом наборе чисел . Следовательно, и только при нулевом наборе чисел , т. е. векторы линейно независимые, а матрица А невырожденная.

Достаточность. Пусть матрица А невырожденная, т. е. векторы линейно независимые. Покажем, что в этом случае существует обратная матрица .

Любая линейно независимая система n-мерных векторов может служить базисом n-мерного векторного пространства (теорема 3.6). Поэтому систему векторов можно принять за базис и разложить единичные векторы по этому базису. Пусть эти разложения имеют вид

………………………………….

Любое из этих равенств можно записать в следующем виде:

= , (j = 1,2,…, n).

Покажем, что матрица В = ( ) = является обратной для матрицы А. Умножим матрицы A и B, получим

АВ = = ( ) = ( ) = Е.

Следовательно, для невырожденной матрицы А существует обратная матрица = В.

Билет № 15

1. Построение начального опорного решения и переход от одного опорного решения к другому в симплексном методе (вывод формул).

Получим правило выбора разрешающих элементов для преобразований Жордана, обеспечивающее сохранение неотрицательности правых частей системы уравнений.

Пусть разрешающим элементом для преобразования Жордана является коэффициент при неизвестной в уравнении с номером l. В результате преобразования Жордана правые части уравнений, как известно, пересчитываются по следующим формулам:

.

1. Для того, чтобы правая часть уравнения с разрешающим элементом оставалась неотрицательной, должно выполняться неравенство

.

Так как , то первое условие для разрешающего элемента состоит в том, что он должен быть положительным, т.е.

.

2. Неотрицательными также должны быть правые части остальных уравнений, т. е.

.

Для получения требований, налагаемых на разрешающий элемент , рассмотрим два случая:

а) если , то ввиду того, что , , , без дополнительных условий имеем ;

б) если же , то неравенство

поделим на , получим .

Данное неравенство должно выполняться для любого уравнения с номером i, в котором . Для удобства вычислений вводят вспомогательный параметр

. (4.4)

Здесь k  номер вектора условия , вводимого в базис (выбираемого столбца матрицы системы ограничений), а l  номер вектора , выводимого из базиса (номер строки матрицы, в которой должен выбираться разрешающий элемент для преобразования Жордана).

С помощью данного условия возможно выбрать разрешающий элемент в любом столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется хотя бы один положительный элемент. При нарушении данного условия выбора разрешающего элемента в правой части системы уравнений появляются отрицательные величины.

Используя данное условие, можно найти начальное опорное решение.

Аналогичное условие может быть использовано при переходе от одного опорного решения к другому.

Пусть система уравнений-ограничений с помощью подходящего выбора разрешающих элементов приведена к равносильной разрешённой так, что правые части системы сохранились неотрицательными, и имеет вид

.

Тогда базисное решение является допустимым и опорным решением с базисом из единичных векторов .

Очевидно, для перехода от этого опорного решения к новому необходимо использовать соотношение

при , (4.5)

где k  номер вектора, вводимого в базис, l  номер вектора, выводимого из базиса,  координаты опорного решения,  коэффициенты разложения вектора по базису опорного решения.