Билет № 22
Вторая теорема двойственности, её доказательство.
Теорема 5.2. Для того, чтобы допустимые
решения
,
являлись оптимальными решениями пары
двойственных задач, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие
равенства
;
(5.22)
.
(5.23)
Иначе, если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i-е ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то i-я координата оптимального решения двойственной задачи равна нулю и, наоборот, если i-я координата оптимального решения двойственной задачи отлична от нуля, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется оптимальным решением как равенство.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть и оптимальные решения пары двойственных задач (5.21).
1. Покажем, что в этом случае выполняются равенства (5.22).
Подставим оптимальные решения X, Y в системы ограничений своих задач, получим
;
.
Затем каждое из тождеств умножим на соответствующую переменную двойственной задачи и после этого просуммируем их, получим
.
Отсюда следует
.
Так как X, Y оптимальные решения, то по первой теореме двойственности Z(X) = F(Y). Поэтому заменим в последнем соотношении знаки "" на "=", получим
.
(5.24)
Отсюда можно записать
.
Учитывая, что
и
,
а следовательно и
,
приходим к выводу, что каждое слагаемое
суммы равно нулю, т.е. справедливы
равенства (5.22)
.
2. Аналогично докажем справедливость равенств (5.23). Используя выражения (5.24), запишем
.
Учитывая, что
и
,
делаем вывод, что каждое слагаемое
суммы равно нулю, т.е.
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть равенства (5.22), (5.23) выполняются. Докажем, что в этом случае и являются оптимальными решениями.
Просуммируем каждую группу данных равенств, получим
;
.
Из данных равенств следует, что Z(X) = F(Y). Из первой теоремы двойственности (теорема 5.1) следует, что значения целевых функций пары двойственных задач равны только на оптимальных решениях. Поэтому можно утверждать, что X и Y являются оптимальными решениями. Теорема доказана полностью.
Билет № 24
2. Теорема о двух линейно независимых системах векторов. Теорема о числе векторов, входящих в базис.
Смотреть билет № 9.
Билет № 26
2.. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы.
Смотреть билет № 14.
Билет № 27
1. Построение начального опорного решения и переход от одного опорного решения к другому в симплексном методе (вывод формул).
Смотреть билет № 15.
Билет № 28
1. Теорема об экстремуме целевой функции задачи линейного программирования.
Теорема 3.3. Целевая функция задачи линейного программирования достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений; причем, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что решается задача на нахождение максимума целевой функции
Z(X)
= CX
max,
AX = ,
.
Докажем, что целевая функция достигает
экстремума в угловой точке области
допустимых решений G
от противного. Если
является оптимальным решением, то
.
Предположим, что оптимальное решение
задачи
не
является угловой точкой (рис.3.5).
|
Тогда по теореме 3.1
|
,
,
(j = 1, 2, …, n)
– угловые точки области G.
Найдем
.
Среди значений
выберем наибольшее. Пусть это будет
,
т.е.
=
.
Тогда
,
что противоречит тому, что
оптимальное решение в задаче на максимум.
Следовательно,
является
угловой точкой области G.
2. Докажем второе утверждение теоремы.
Пусть угловые точки области допустимых
решений
являются оптимальными решениями, т.е.
и
.
Выпуклая линейной комбинации этих
угловых точек равна
.
Найдем значение целевой функции
т.е. этот вектор также является оптимальным решением.