Билет № 1

1. Теоремы о взаимосвязи опорных решений задачи линейного программирования и угловых точек области допустимых решений.

Теорема 3.4. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений.

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть  опорное решение с базисом некоторой задачи с системой ограничений . Предположим, что X не является угловой точкой, тогда оно является выпуклой линейной комбинацией каких-либо точек области допустимых решений, например, и , т.е. .

Так как последние n  m координат вектора X равны нулю, а и положительные, то последние n  m координат векторов и также равны нулю, т.е. и .

Подставим в систему ограничений задачи:

.

Вычтем из первого равенства второе. Получим

Так как векторы образуют базис, то они линейно независимые, а потому данное равенство может выполнятся только тогда, когда все коэффициенты при векторах равны нулю, т.е.

Отсюда получаем Следовательно, , и опорное решение X не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо допустимых решений, а является угловой точкой области допустимых решений.

Теорема 3.5. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть угловая точка области допустимых решений и при j = 1, 2,…, m. Чтобы доказать, что это решение является опорным, достаточно показать, что векторы , соответствующие положительным координатам решения, являются линейно независимыми.

Предположим, что эти векторы линейно зависимы. Тогда существует ненулевой набор чисел такой, что

(3.2)

Так как X допустимое решение, то имеет место равенство

(3.3)

Умножим соотношение (3.2) на некоторое число  и прибавим к равенству (3.3), получим

,

т.е. вектор является решением системы ограничений задачи. Аналогично можно показать, что решением системы является также вектор

.

Для того, чтобы эти векторы и удовлетворяли условиям неотрицательности, достаточно малое число  выберем так, что . Это возможно, так как при j = 1, 2,…, m.. При таком выборе числа  векторы и являются допустимыми. Нетрудно видеть, что , т.е. X является выпуклой линейной комбинацией и . Это противоречит тому, что X является угловой точкой. Следовательно, векторы линейно независимые, и решение X является опорным.

Билет № 3

1. Необходимые и достаточные условия разрешимости транспортной задачи.

Теорема 6.1. Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей

,

т. е. задача должна быть с правильным балансом.

До к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть задача имеет допустимое решение

, , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Докажем, что . Подставим в уравнения системы ограничений (6.2) и (6.3), получим

, i = 1, 2, ..., m, , j = 1, 2, ..., n .

Просуммируем первую и вторую группы тождеств по отдельности:

и .

Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс .

Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс

.

Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение.

Сначала убедимся в том, что область допустимых решений задачи является непустым множеством. Проверим, что , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .., n является допустимым решением. Подставим в левые части уравнений системы ограничений (6.2), (6.3), получим

, i = 1, 2, ..., m,

, j = 1, 2, ..., n,

т. е. уравнения обращаются в тождества. Очевидно, что удовлетворяет и условиям неотрицательности.

Далее покажем, что существует оптимальное решение. Очевидно, стоимости перевозок единиц груза ограничены сверху и снизу , где C и D постоянные величины. Можно записать

.

Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция, достигает своего наименьшего и наибольшего значений.