Вопрос 6: Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

Теорема Ролля:

Если функция определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, дифференцируема на (a, b) и принимает равные значения на концах отрезка, то существует точка с из (a, b) в которой производная равна нулю.

Основные пункты.

а) Функция определена на [a, b]

б) Дифференцируема на (a, b)

в) f(a) = f(b)

г) f (c) = 0

Теорема Лагранжа:

Если функция непрерывна на [a, b] дифференцируема на (a, b), то существует точка с из (a, b) такая, что выполнено равенство такая, что выполнено равенство - Формула конечных разностей. Геометрически теорема Лагранжа означает, что найдётся такая точка c, где касательная параллельна секущей.

Теорема Коши:

Пусть даны две функции   и   такие, что:

1.  и   определены и непрерывны на отрезке  ;

2. производные   и   конечны на интервале  ;

3. производные   и   не обращаются в нуль одновременно на интервале 

4. ;

тогда

, где 

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале  .)

Геометрически это можно переформулировать так: если   и   задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр  ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами   и  , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от   до  .

Вопрос 7: Правило Лопиталя.

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  , тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Вопрос 8: Условия монотонности функции. Экстремумы функции.

Условия монотонности функции

Пусть функция   непрерывна на   и имеет в каждой

точке   производную    Тогда

 возрастает на   тогда и только тогда, когда 

 убывает на   тогда и только тогда, когда 

Пусть функция   непрерывна на   и имеет в каждой точке   производную   Тогда

если   то   строго возрастает на 

если   то   строго убывает на 

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале  Пусть   и всюду на интервале определена производная   Тогда    строго возрастает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично,   строго убывает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Экстремум функции – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Алгоритм нахождения 1) D(f); 2) 3) =0 или не существует; 4) Нанести критические точки на действительную ось и определить знак функции на каждом отрезке.