Квантовогармонический осциллятор

Пусть потенциальная энергия изменяется по закону . Тогда уравнение Шредингера: .

Движение частицы называется финитным, если оно происходит в конечной области пространства.

Существует общая теорема квантовой механики, согласно которой энергия всегда квантуется у тех систем, движение которых финитно, но может изменяться непрерывно в случае инфинитного движения.

Разность энергий между уровнями: , где  – частота частицы. Минимальная энергия – .

Принцип соответствия: Любая новая теория, более общая, чем общепринятая, должна переходить в старую в тех условиях, в которых старая теория была построена и проверена на опыта.

Атом водорода

, если .

Собственные функции электрона в атоме водорода содержат три целочисленных параметра: – главное квантовое число, – азимутальное квантовое число, – магнитное квантовое число. Состояния, обладающие одинаковой энергией и разными квантовыми числами, называют вырожденными. Число различных состояний для данного называется кратностью вырождения. Она равна .

Проекция момента импульса

Найдём собственные значения оператора момента импульса, т.е. решим уравнение . В цилиндрической системе координат , где  – полярный угол. Тогда это уравнение записывается в виде: . Путём подстановки можно проверить, что решение этого уравнения – (здесь – нормировочный множитель). Из однозначности определения волновой функции следует, что , где m – магнитное квантовое число. Тогда . Уравнение, составленное для полного момента имеет конечное и однозначное решение лишь при .

Одновременно можно знать только модуль момента импульса и его проекцию на одну из осей.

Вектор момента импульса никогда не может быть направлен вдоль той оси, проекцию момента импульса на которую мы знаем.

Различные функции , соответствующие различным l, соответствуют электронам с различными моментами импульса.

Говорят, что электрон, у которого , находится в s-состоянии, – в p-состоянии, – d, – f, – g.

Схема электронных уровней атома водорода:

В о время перехода момент импульса всегда изменяется на (правило отбора). Момент импульса фотона равен .

Спектры атомов щелочных металлов

Частоты серий этих атомов: (здесь R – постоянная Ридберга). Для разных атомов и , и  – разное.

Резкая серия: число, .

Главная серия: .

Диффузная серия: .

Основная линия: .

Эмпирически было установлено, что .

Энергия состояния (энергия уровня) зависит не только от главного квантового числа, но и от орбитального (азимутального) квантового числа – это главное отличие атомов щелочных металлов от атома водорода.

Магнитное число определяет проекцию момента импульса на выбранное направление.

Правила сложения моментов импульса

Пусть есть две частицы с моментами импульса и . Найдём суммарный момент импульса системы . Известно, что . Аналогично и для и . Т.к. , то проекции их на ось z . При этом .

Нормальный эффект Зеемана

М агнитный момент электрона на орбите , где – механический момент, , l – азимутальное квантовое число. Тогда – магнетон Бора. Потенциальная энергия электрона в магнитном поле , где – напряжённость внешнего магнитного поля. . Пусть . Тогда и , где m – магнитное квантовое число. Таким образом, , следовательно, при помещении атома в магнитное поле его уровни возбуждения расщепляются на значение (т.к. через 1), равноотстоящие друг от друга. Магнитное поле снимает вырождение по квантовому числу m.

Правило отбора: . При этом энергии переходов с одинаковым изменением m равны и при равны энергии перехода без магнитного поля.