4.1. Координаты вектора.

Теорема: Разложение вектора по базису.

Пусть (l₁,l₂)- базис по плоскости, тогда любой вектор а той же плоскости можно единственным образом представить в виде

, где x₁, x₂- числа.

1⁰ Доказательство: Через точку А проведем прямые параллельные l₁,l₂. Продолжим вектора до перечисления с прямыми.

M₁ A

0

l₂ M₂

║  ║

коллинеарные, отличаются на x.

║  ║

По правилу параллелограмма:

.

Вектор разложен по базису (l₁,l₂).

2⁰. Докажем единственность.

Предположим, что равен двум размеченным линейным комбинациям в одном базисе.

(1),

(2).

Вычитаем равенства (1) и (2) почленно.

(3)

Так как базисные вектора линейно независимы, то коэффициенты в равенстве (3) равны 0.

,  , .

То есть линейное представление вектора в базисе единственно.

Аналогично, для базиса в пространстве . Любой вектор можно единственным образом представить в виде:

– разложение по базису .^(*)

Числа x₁,x₂,x₃ однозначно определяемые равенством ^(*) называют координатами

вектора в базисе .

Свойства координат вектора:

1⁰. Пусть даны и . Их запись.

или ;

или .

^{в векторной форме по базису. в координатной.}

2⁰. При сложении (вычитании) двух векторов складываются (вычитаются) их одноименные координаты.

.

3⁰. Два вектора равны, если равны их одноименные координаты.



4⁰.

При умножении вектора на число, которое его координата умножается на это число.

§5. Прямоугольная система координат.

Определение: Базис (l₁,l₂,l₃) называют ортонормированным (прямоугольным),

если вектора попарно перпендикулярны и имеют единичную длину.

Приняты специальные обозначения.

, , .

Векторы называют координатными ортами.

По определению :

, – единичные.

Определение: Вообще, ортом вектора , называется вектор , длина которого равна 1, направление совпадает с направлением вектора .

Его обозначают .

1

Определение: Задать прямоугольную систему координат - это значит задать начало координат и

базис.

- прямоугольная система координат.

z

M



 y



x

Ox – ось абсцисс. -орт оси Ox.

Oy – ось ординат. -орт Oy.

Oz – ось апликат. -орт Oz.

Любой вектор единственным образом можно представить в виде:

^{(радиус вектора точки М).}

Числа x,y,z – координаты в базисе .

Длина любого вектора в прямоугольном базисе определяется по формуле:

^{(Она вытекает из теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда).}