3.2. Вычитание.

Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор :

, если .

Чтобы получить разность двух векторов и , необходимо отложить их из одной точки и соединить концы в направлении от вычитаемого к уменьшаемому.

Диагонали параллелограмма являются соответственно суммой и разностью векторов, на которых этот параллелограмм построен .

3.3. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1 ).

2). , если λ>0.

3). , если λ>0.

Если λ=0 или a = 0, то b = 0.

Пример: Пусть дан вектор

Если λ=2, то

Если λ=-1,5 , то -1,5

Свойства произведения вектора на число.

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰. , где λ и μ – числа.

5⁰.

6⁰. .

Замечание 3. По определению коллинеарные вектора параллельные ║ .

С ледовательно, коллинеарные вектора отличаются только на постоянный множитель.

, где .

3.4. Проекция вектора на ось.

Алгебраической проекцией вектора на ось l называют длину отрезка [A₁,B₁], заключенного между проекциями начала и конца этого вектора на ось l и обозначают или .

B

B

A φ c

c A φ

A₁ B₁ B₁ A₁

Длина отрезка A₁B₁ берется со знаком “+” если направление вектора совпадает с направлением оси и знаком « - « если не совпадает.

Свойства проекции:

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на cos угла φ между вектором и осью:

, где .

Доказательство: рассмотрим предыдущий чертеж.

1⁰.Пусть угол φ - острый.

Тогда из ∆ABC получаем

.

2⁰.Пусть φ- тупой угол. Из ∆ABC получаем:

2.При умножении вектора на число, его проекция на ось равна сумме проекций, составляющих векторов на эту же ось.

§4 Линейная зависимость векторов. Базис.

Определение: Выражение называют линейной комбинацией векторов c коэффициентами c₁…c_n (любые действительные числа).

Определение: Говорят, вектор линейно выражается через вектора , если он равен их линейной комбинации, т.е.

.

Определение: Система векторов a₁,…a_n называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна 0.

Система векторов a₁,…a_n называется линейно зависимой, если выполняется условие равно 0 при хотя бы одном из не равном 0.

Теорема 1. Система двух векторов и линейно независима, если они не коллинеарные.

Замечание: Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Теорема 2. Система трех векторов a,b и c линейно независима, если они не компланарны.

Замечание: Любые четыре вектора на плоскости линейно зависимы.

Систему векторов, приведенную к общему началу называют, упорядоченной, если указано какой из векторов первый, второй и т. д.

Определение: Пусть V_n- векторное пространство и некоторая система его векторов.

Упорядоченную систему векторов называют базисом пространства V_n, если она линейно не зависима, и полна (последнее означает, что любой вектор пространства V_n линейно выражается через вектора ).

Например, .

Базисом в пространстве V₃ (множество всех векторов плоскости) называют упорядоченную пару не коллинеарных векторов.

-базис на плоскости.

-базис вектора.

Базисом в пространстве V₃ упорядоченную тройку не коллинеарных векторов.

Обозначают .