16. Улучшение первоначального плана транспортной задачи методом потенциалов. Основные этапы. Цикл, потенциалы

Определение 1. Циклом в таблице называется ломаная, с вершинами в клетках таблицы и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов, если выполняются условия:

1. Ломаная должна быть связанной, т. е. из любой вершины можно попасть в любую другую.

2. В каждой вершине ломаной встречаются два звена, одно из которых расположено по строке, другое - по столбцу.

3. Число вершин ломаной - четное.

Первоначальный план, как правило, ацикличен.

Теорема. Чтобы план перевозок был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы ему соответствовала такая система из чисел , для которых выполняются следующие условия:

1. (для всех клеток принадлежащих множеству X или для заполненных клеток).

2. (для всех клеток, не принадлежащих множеству Х или для всех пустых клеток).

Числа называют потенциалами соответствующих пунктов отправления и Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.

Определение 2. Совокупность уравнений вида для всех клеток с перевозками образует систему уравнений с переменными. Такая система имеет бесконечное множество решений. Чтобы система была определенной, принято считать . Оставшиеся переменные находят из системы.

1. Предварительный шаг решения:

1. составляем опорное решение задачи одним из трех методов.

2. строим систему потенциалов для клеток с перевозками.

назначения

17. Составление системы потенциалов для заполненных клеток при решении транспортной задачи

2. Общий шаг решения:

1. Улучшаем план перевозок, составляя цикл, в одной из вершин которого находится максимально не потенциальная клетка, т. е. соответствующая . Остальные вершины цикла находятся в заполненных клетках. Вершины цикла, начиная с максимально не потенциальной клетки, обозначают знаками . Рассматривают перевозки в отрицательных вершинах и находят среди них наименьшую . Далее эту минимальную перевозку перемещают по циклу, вычитая от перевозок с отрицательными вершинами и прибавляя к перевозкам с положительными вершинами.

2. Исправляем систему потенциалов: потенциал новой клетки оставляют без изменения, а от соответствующего потенциала вычитают . Затем исправляют систему потенциалов для клеток с положительными перевозками, для которых потенциальность нарушена.

3. Проверяем на потенциальность не заполненные клетки и решаем задачу дальше.

Замечание: Если задача решается на max, то система потенциалов составляется так же, а условие потенциальности незаполненных клеток имеет вид: .