13. Математическое ожидание, мода и квантили случайной величины.

При решении многих практических задач нет необходимости знать закон распределения рассматриваемой СВ, а достаточно указать лишь некоторые его характерные особенности. С этой целью используются числовые характеристики СВ.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х с возможными значениями называется число , где , и . Если множество возможных значений является счётным, то (ряд в правой части равенства должен быть абсолютно сходящимся, иначе математическое ожидание не существует).

Математическим ожиданием непрерывной СВ Х с плотностью распределения называется число (предполагается, что интеграл в правой части является абсолютно сходящимся).

Математическое ожидание представляет собой среднее значение, принимаемое данной СВ, и является как бы центром, вокруг которого группируются её возможные значения. Отметим, что не у каждой СВ математическое ожидание совпадает с одним из возможных значений.

При большом числе независимых наблюдений (измерений) СВ Х среднее арифметическое результатов наблюдений (измерений) почти всегда лишь незначительно отличается от . Покажем это на примере дискретной СВ с возможными значениями . Пусть при N независимых измерениях значение появилось раз, – раз, ... , – раз (очевидно, ). Среднее арифметическое результатов измерений СВ в данной серии определяется равенством

,

где – частота появления значения . Отсюда следует, что при достаточно большом N почти всегда справедливо приближённое равенство , где правая часть есть .

Модой дискретной СВ называется такое её возможное значение , которому соответствует наибольшая вероятность .

Модой непрерывной СВ называется такое её возможное значение х, которому соответствует наибольшая плотность вероятности .

Квантилем уровня р непрерывной СВ Х называется такое число , для которого . Квантиль называется медианой.

14. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется число . Для дискретной СВ начальные моменты определяются по формуле , для непрерывной СВ – по формуле . Первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием.

Случайная величина называется центрированной по отношению к СВ Х. Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется число . Для дискретной СВ центральные моменты определяются по формуле , для непрерывной СВ – по формуле .

Первый центральный момент равен нулю. Действительно, для дискретной СВ , для непрерывной СВ .

Второй центральный момент называется дисперсией СВ Х и обозначается или . Формулы для дисперсии дискретной и непрерывной СВ имеют вид и . Из неотрицательности слагаемых под знаком суммы и неотрицательности подынтегральной функции следует, что .

Для дисперсии справедливо равенство . Действительно, для дискретной СВ

,

для непрерывной СВ

.

Дисперсия характеризует среднюю степень рассеивания (разброса) возможных значений СВ относительно её математического ожидания (среднего значения). На практике вместо дисперсии в качестве характеристики рассеивания часто используется величина , называемая средним квадратическим отклонением СВ Х. Размерность совпадает с квадратом размерности СВ Х, размерность – с размерностью самой СВ Х.