4. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении элементарного события и вероятности. В настоящее время общепринятой является система аксиом, предложенная А.Н. Колмогоровым.

Пусть имеется множество  элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями. Само множество  будем называть пространством элементарных событий испытания или достоверным событием, его пустое подмножество  – невозможным событием, остальные подмножества – случайными событиями. Под операциями над событиями будем понимать соответствующие операции над множествами.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Пусть F – некоторое множество подмножеств , называемое полем событий испытания. Будем считать, что поле F является алгеброй, т.е. обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Если множество F содержит бесконечное число элементов, то будем считать, что оно обладает также свойством:

.

Вероятностью (или вероятностной мерой) называется функция , которая каждому событию ставит в соответствие определённое числовое значение и удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. Вероятность любого события неотрицательна.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Таким образом, вероятность представляет собой неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию множеств. Если поле F содержит бесконечное число элементов, то аксиома сложения полагается справедливой также для последовательности попарно несовместных событий . Вероятности случайных событий, не содержащихся в F, считаются неопределёнными. Тройка называется вероятностным пространством испытания и представляет собой математическую модель реального вероятностного эксперимента.

Приведём простейшие следствия из аксиом, считая все рассматриваемые события принадлежащими полю F.

Следствие 1. .

Доказательство. События А и несовместны, поэтому из аксиомы сложения имеем . Поскольку , то из аксиомы 2 получим .

Следствие 2. .

Доказательство. Из аксиомы 1 имеем , а из следствия 1 имеем , поэтому .

Следствие 3. .

Доказательство. События  и  противоположны, поэтому из следствия 1 имеем . Из аксиомы 2 находим .

Следствие 4. Если , то и .

Доказательство. Из включения следует, что событие В есть сумма несовместных событий А и , откуда в силу аксиомы сложения получим , т.е. . Но из аксиомы 1 имеем , поэтому .

Аксиомы и следствия из них определяют общие свойства вероятности как числовой функции множеств и справедливы для каждого из её определений, рассмотренных ранее. В случае конечного или счётного пространства  в качестве поля событий F обычно рассматривается множество всех подмножеств . Если же  несчётно, то задание вероятностной меры на всех подмножествах может оказаться невозможным и тогда в качестве поля приходится брать некоторый класс подмножеств.