2. Частота события. Статистическое определение вероятности.

Пусть некоторое испытание повторяется n раз, при этом в повторениях появляется событие А. Тогда отношение называется частотой события А в данной серии испытаний. Значения частоты, получаемые в разных сериях испытаний, обычно различаются.

Практика показывает, что при проведении испытаний в одинаковых условиях частота события обладает свойством устойчивости, т.е. с ростом числа испытаний она постепенно утрачивает случайный характер. Это означает, что при больших n значения , получаемые в разных сериях независимых испытаний, почти всегда лишь мало отличаются от некоторого числа р. Такое число называется вероятностью события А и обозначается . Данное определение вероятности называется статистическим.

Значение вероятности представляет собой среднюю долю испытаний, в которых наступает событие А, и служит мерой объективной возможности появления этого события в отдельно взятом испытании. Поскольку , то естественно считать, что . Частота достоверного события в любой серии испытаний равна единице, а невозможного – нулю, поэтому целесообразно положить , .

Пусть А и В – несовместные события, первое из которых в результате n испытаний появляется раз, второе – раз. Одновременное появление событий А и В в опыте невозможно, поэтому

.

Если – попарно несовместные события, то по индукции можно получить равенство , откуда естественно положить .

Знание вероятности случайного события, вообще говоря, не позволяет предсказать, произойдёт ли это событие в отдельно взятом испытании. Исключение составляют события, вероятности которых очень близки к единице или к нулю. При многократном повторении испытания они почти всегда происходят или, наоборот, почти никогда не происходят: исключения настолько редки, что на практике их можно считать, соответственно, достоверными или невозможными. Такие события называются практически достоверными и практически невозможными. В соответствии с принципом практической уверенности считают, что в каждом отдельном испытании практически достоверное событие происходит, а практически невозможное – не происходит.

На практике в качестве приближённого значения вероятности того или иного события может быть принята его частота, найденная при достаточно большом числе независимых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Основной недостаток статистического определения состоит в том, что для достаточно точного нахождения вероятности требуется проведение большого числа испытаний.

3. Классическое и геометрическое определения вероятности.

Классическое определение вероятности

Пусть – пространство элементарных событий некоторого испытания. Будем считать, что события равновозможны, т.е. не имеют объективного преимущества одно перед другим.

Пусть событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества , содержащего m элементов ( ). Тогда вероятностью события А называется число

, (1)

где n – общее число элементарных событий, m – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А.

Приведённое определение вероятности называется классическим, а формула (1) называется формулой непосредственного подсчёта вероятностей. Это определение применимо только в тех ситуациях, когда пространство элементарных событий испытания конечно и соответствующие события равновозможны. В реальных задачах равновозможность событий устанавливается на основе их симметрии в том или ином смысле.

Нетрудно проверить, что все свойства вероятности, установленные на основании свойств частоты, справедливы и для классического определения. Практика показывает, что при большом числе испытаний частота события почти всегда лишь незначительно отличается от его вероятности, вычисленной по формуле (1), т.е. классическое определение согласуется со статистическим определением.

Геометрическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий  некоторого испытания бесконечно и может быть представлено какой-нибудь геометрической фигурой (например, отрезком прямой, плоской фигурой, телом в пространстве). Будем считать, что множество  измеримо, т.е. имеет определённую длину, площадь или объём, а элементарные события, соответствующие различным точкам , равновозможны. Тогда вероятностью события А, состоящего в появлении элементарного события в измеримом подмножестве , называется число , где и – меры множеств и  (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел).

Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Все свойства вероятности, установленные на основании свойств частоты, остаются справедливыми. Вероятность каждого из элементарных событий в данной ситуации равна нулю, хотя ни одно из них не является невозможным.