28. Центральная предельная теорема.

Под центральной предельной теоремой понимается совокупность теорем, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Приведём три формулировки центральной предельной теоремы.

Теорема Ляпунова. Если – независимые СВ, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением , то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к СВ , т.е. для любого имеет место , где – функция распределения СВ , – функция Лапласа.

Замечание. Из данной теоремы следует, что для любого при больших n имеет место

,

т.е. закон распределения СВ с увеличением n приближается к . Аналогичным образом можно показать, что закон распределения СВ с увеличением n приближается к . Это означает, что при большом числе независимых измерений СВ Х закон распределения суммы и среднего арифметического результатов измерений близок к нормальному. Измеряемая СВ может быть как непрерывной, так и дискретной, поскольку под близостью законов понимается близость значений функций распределения.

Интегральная теорема Лапласа. Пусть – случайное число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие происходит с одинаковой вероятностью . Тогда при достаточно большом n и имеет место приближённое равенство

,

где – функция Лапласа, , и .

Локальная теорема Лапласа. Пусть – случайное число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие происходит с одинаковой вероятностью . Тогда при достаточно большом n и , имеет место приближённое равенство

,

где – функция Гаусса, и .

29. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства.

Пусть – последовательность случайных величин, элементы которой представляют собой дискретные СВ с возможными значениями из множества . Если при любом для всех имеет место

,

то эта последовательность называется дискретной цепью Маркова. Элементы множества S будем называть состояниями цепи, а значение – вероятностью перехода цепи из состояния i в состояние j на n-м шаге.

Дискретная цепь Маркова называется однородной, если её вероятности перехода не зависят от номера шага n. Пусть , , – вероятности перехода за один шаг, тогда матрица называется матрицей перехода цепи за один шаг. Её элементы обладают свойствами:

1⁰. , , .

2⁰. , .

Первое свойство вытекает из неотрицательности вероятностей, второе – из того, что события, состоящие в переходе цепи из любого фиксированного состояния i в различные состояния множества S, являются попарно несовместными и образуют полную группу.

Теорема 1. Для однородной цепи при любых имеют место равенства , , .

Значения , , называются вероятностями перехода за m шагов, а матрица , элементами которой являются вероятности – матрицей перехода цепи за m шагов. Значения , будем называть начальными вероятностями состояний цепи.

Теорема 2. Справедливо равенство , .

Из теоремы 2 следует, что матрица Р однозначно определяет вероятности перехода за любое конечное число шагов. Поскольку события , попарно несовместны и образуют полную группу, то ,

а в силу формулы полной вероятности

, , .

Отсюда и из равенства следует, что зная начальные вероятности , и матрицу перехода Р, можно найти вероятность для любого состояния на любом шаге.

Теорема 3. Если при некотором все элементы матрицы строго положительны, то существуют пределы

, , .

Условие положительности элементов матрицы означает, что за m шагов возможен переход цепи из каждого состояния в любое другое или в то же самое состояние с ненулевой вероятностью. Из теоремы 3 следует, что при определённом условии строки матрицы для достаточно больших m практически совпадают между собой, т.е. вероятности состояний однородной цепи через большое число шагов почти перестают зависеть от начального состояния. Цепь Маркова, обладающая этим свойством, называется эргодической, а числа , называются финальными вероятностями состояний цепи.

Пусть – попарно несовместные события, образующие полную группу. Будем считать, что эксперимент повторяется неограниченное число раз, причём вероятности событий в n-м опыте зависят только от появления этих событий в ( )-м опыте и не зависят от их появления в предыдущих опытах. Если n – номер эксперимента (полагается ), а – номер события, наступившего в n-м эксперименте, то последовательность , получаемая в данной серии зависимых испытаний, представляет собой цепь Маркова.