Экзаменационные вопросы по дисциплине
“Теория вероятностей и математическая статистика”
1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий.
Под событием понимается любой факт, который может произойти или не произойти. Примеры событий: появление герба при бросании монеты, появление трёх гербов при пяти бросаниях монеты, попадание в мишень при выстреле, отказ изделия при испытании на надёжность.
Эксперимент (испытание, опыт) – это воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения. Воспроизводимые события называются условиями эксперимента (испытания, опыта), а те события, которые появляются или не появляются в результате воспроизведения условий – исходами. Примеры экспериментов: бросание монеты, выстрел по мишени, испытание изделия.
Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно всегда происходит. Событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно никогда не происходит. Достоверное событие будем обозначать знаком , невозможное – знаком .
Событие называется
случайным, если в результате эксперимента
оно иногда происходит, а иногда не
происходит. Случайные события обозначаются
буквами
и т.д.
Если при каждом
наступлении события А
наступает и событие В,
то говорят, что А
– частный случай В
(А
влечёт за собой В,
А
благоприятствует В).
Используются обозначения
и
.
События А
и В
называются равными (равносильными,
эквивалентными), если одно из них
происходит тогда и только тогда, когда
происходит другое. Используется
обозначение
.
При математическом описании случайных
явлений равные события не различаются.
Событие, состоящее
в совместном наступлении событий А
и В,
называется произведением событий А
и В
и обозначается
или
.
Событие, состоящее
в наступлении хотя бы одного из событий
А
и В,
называется суммой событий А
и В
и обозначается
или
.
Понятия произведения
и суммы обобщаются на случай произвольного
конечного или счётного числа событий.
Для произведения n
событий используются обозначения
и
,
для суммы – обозначения
и
.
Событие, состоящее
в том, что в результате опыта событие А
происходит, а событие В
не происходит, называется разностью
событий А
и В
и обозначается
или
.
События А
и В
называются несовместными, если их
совместное появление в опыте невозможно,
т.е.
.
События
называются попарно несовместными, если
несовместны любые два из них.
Говорят, что события
образуют полную группу, если в результате
опыта всегда появляется хотя бы одно
из них, т.е.
.
Событие
,
состоящее в том, что событие А
в опыте не происходит, называется
противоположным событию А.
Практика показывает,
что из совокупности всех возможных
исходов испытания можно выделить такое
множество
событий, называемых элементарными, что
при каждом повторении опыта появляется
одно и только из них, а произвольное
событие А
в опыте происходит тогда и только тогда,
когда наступает элементарное событие
из некоторого подмножества
.
Множество
будем называть пространством элементарных
событий испытания. В зависимости от
характера эксперимента оно может
содержать конечное или бесконечное
число элементов. Поскольку каждое
подмножество однозначно определяется
своими элементами, то между всеми
возможными исходами испытания и всеми
подмножествами
существует взаимнооднозначное
соответствие.
Пусть А
и В
– возможные исходы испытания, а
и
– соответствующие подмножества. Тогда
из определений произведения, суммы и
разности событий следует, что событиям
,
и
будут соответствовать подмножества
,
и
.
Из определения частного случая события
следует, что
в том и только в том случае, если
.
Подмножество, соответствующее достоверному
(невозможному) событию, совпадает с
пространством
(с пустым множеством ).
.
Пусть
– элементарное событие, состоящее в
появлении грани с номером i,
А
– появление грани с чётным номером, В
– появление грани с номером, кратным
трём. Тогда
,
,
.
Отсюда
,
,
,
.