23. Вычисление момента инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси.

Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рис.27), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции , т.е.

Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

(п.1)

Это выражение может быть получено и другим способом, с помощью метода подобия. Будем считать, что рассматриваемый стержень состоит из двух половин (рис.28). Каждая из них имеет массу m/2 и длину l/2 .

Выражение для момента инерции стержня должно включать его массу и длину, так как это единственные параметры, определяющие его инерционные свойства при вращении. Пусть (п.2)

где k- неизвестный коэффициент.

Для каждой из половин стержня при вращении вокруг оси AA^` можно найти момент инерции, используя (п.2) (п.3)

Полный момент инерции стержня

(п.4)

Но этот же момент инерции, согласно (п.2) равен kml². Приравнивая (п.4) и (п.2) имеем

(п.5)

или и, следовательно,

(п.6)

т.е. , что совпадает с (п.1)

24. Вычисление момента инерции бесконечно круглого кольца относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца.

Для расчета моментов инерции тонкого кольца/диска массы m и радиуса R выберем систему координат так, чтобы ее оси совпадали с главными центральными осями (рис.32). Определим момент инерции тонкого однородного кольца/диска относительно оси z , перпендикулярной к плоскости диска. Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным r+dr. Площадь такого кольца ds=2r $\pi$ dr, а его масса , где S= $\pi$ R² - площадь всего кольца/диска. Момент инерции тонкого кольца найдется по формуле dJ=dmr². Момент инерции всего диска определяется интегралом

(п.18)

Для определения J_x воспользуемся симметрией диска (J_x=J_y) и утверждением (п.10), полученным при расчете момента инерции прямоугольной пластины. При этом из (п.10) получаем

J_z=2J_x (п.19)

Откуда

(п.20)

25. Вычисление момента инерции однородного сплошного цилиндра (диска) относительно продольной геометрической оси.

Выберем оси системы координат, совпадающие с главными центральными осями так, как показано на рис.33. Определим момент инерции цилиндра относительно оси z. Цилиндр представляет собой набор тонких дисков с массами dm и моментами инерции . Момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерций dJ_z тонких дисков

(п.21)

где - радиус цилиндра, - его масса.

Пусть теперь ось вращения проходит через центр масс цилиндра перпендикулярно его продольной оси (рис.33) и совпадает с осью координат x. Представим цилиндр как совокупность тонких дисков толщиной dz, массой ( l - длина цилиндра). Момент инерции тонкого диска относительно оси Ox dJ^`_x в соответствии с (п.20) и теоремой Гюйгенса-Штейнера равен

(п.22)

где z - расстояние от диска до центра цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра найдем после интегрирования по z (по всей длине цилиндра)

(п.23)

Откуда получаем

(п.24)