43. Закон сохранения момента импульса для замкнутых систем.

Закон сохранения момента импульса

, при M_внеш = 0

«Если момент внешних сил относительно неподвижного начала О равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени»

Перейдем к доказательству закона сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы F₁ , F₂ , ..., действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Перенесем систему из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2, чтобы все материальные точки ее претерпели одно и то же смещение r, и притом так, чтобы их скорости остались прежними по величине и направлению. Ввиду однородности пространства, на такое перемещение не требуется затраты работы. Но эта работа представляется скалярным произведением (F₁ +F₂ + ...)r . Значит, оно равно нулю, каково бы ни было смещение r. Отсюда следует, что для замкнутой системы F₁ +F₂ + ...=0. А это есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: М₁ +М₂ +...=0. Отсюда немедленно следует рассматриваемый закон.

44. Закон сохранения полной механической энергии.

При движении тела массой m в потенциальном поле на пути совершается работа

Силу по второму закону динамики можно представить в виде , т.е.

, (2.6)

или по-другому   . (2.6’)

    Изменение кинетической энергии равно работе. Но работа равна изменению потенциальной энергии

= , поэтому

или ,

следовательно,

,

где W – полная энергия тела.

    При движении тела в потенциальном поле его полная механическая энергия остаётся постоянной. Это и есть закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия сохраняется также и для замкнутой системы, состоящей из произвольного количества тел.

45. Закон сохранения импульса и момента импульса для незамкнутых систем.

46. Закон сохранения при абсолютно неупругом ударе.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

П римером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем.

П о отклонению маятника можно определить скорость пули. Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса

  При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

  Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

  Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами. При m << M  почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M  – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

  Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

1

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник.