Метод зон Френеля

Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элементов волновой поверхности , Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

П ользуясь методом Френеля, определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке сферической волной, распространяющейся в однородной изотропной среде из точечного источника . Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой . Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки отличались друг от друга на половину длины волны . Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Введем обозначения: - расстояние от источника до вершины рассматриваемой волновой поверхности; - расстояние от вершины волновой поверхности до точки .

Вычислим площади зон. При достаточно малых площадь - ой зоны можно вычислить как

,

где - внешний радиус - ой зоны Френеля; - внешний радиус - ой зоны Френеля.

Найдем радиус соответствующей зоны. Воспользуемся рисунком, на котором изображено сечение фронта волны. Из рисунка видно, что

или .

Здесь - радиус волновой поверхности. Объединим эти два выражения и возведем скобки в квадрат:

Из этого выражения получим:

.

Поскольку мы ограничились рассмотрением малых , то можно пренебречь слагаемым с и упростить полученное выражение:

.

Теперь можно определить :

= . При малых высота сегмента , тогда , или

.

Площадь - ой зоны равна:

= =

Полученное выражение не зависит от . Это значит, что при малых площади зон Френеля примерно одинаковы.

Расстояние от внешнего края -ой зоны до точки равно и медленно растет с номером зоны. Поскольку волна сферическая, то ее амплитуда зависит от . В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол между нормалью к волновой поверхности и точкой наблюдения , следовательно, интенсивность излучения в направлении точки также уменьшается. Следовательно, амплитуда колебания, возбуждаемого -ой зоной в точке , монотонно убывает с ростом . Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых зонами Френеля в точке , образуют монотонно убывающую последовательность

Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращённой в сторону точки , очень велико. При a = b =10 см,  = 500 нм, число зон Френеля N  310⁵, а радиус первой зоны r₁ = 0,16 мм. Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку у соседних зон примерно равны. Таким образом, амплитуды волн, приходящих в точку от соседних зон, примерно равны.

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, различаются на . Таким образом, амплитуда результирующего колебания в точке может быть представлена в виде:

Все амплитуды от нечетных зон входят в это выражение с одним знаком, а от четных – с другим.

Это выражение можно представить в следующем виде.

Как мы уже выяснили выше, амплитуды колебаний от соседних зон, приходящие в точку , примерно одинаковы, поэтому выражения в скобках равны нулю. И в итоге имеем.

.

Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны. Приведенные выше оценки показывают, что радиус первой зоны Френеля очень мал. Это означает, что распространение света от к происходит так, как будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль , т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса – Френеля объясняет прямолинейное распространение света в однородной среде.

Из принципа Гюйгенса – Френеля следует еще несколько парадоксальных выводов. При полностью открытом волновом фронте результирующая амплитуда в точке приблизительно равна половине амплитуды волны, создаваемой в этой точке только первой зоной. Или для амплитуды . Если на пути монохроматического света от точечного источника поместить экран, закрывающий все зоны, кроме первой, то амплитуда в точке увеличится по сравнению с полностью открытым волновым фронтом в два раза , а интенсивность в четыре раза . В точке будет наблюдаться максимум. Особенно неожиданным представляется вывод о том, что при отверстии в преграде, открывающем для точки две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля , хотя общий световой поток оказывается в два раза больше. В этом случае в точке наблюдения будет наблюдаться минимум.