Упражнения.

№1. Определить нижнюю и верхнюю цены игры

а) б)

Ответы: а) α=3; β=3 б) α=2; β=4; 2≤V≤4

.

.

№2. Найти седловую точку и цену игры по платежной матрице и определить оптимальные чистые стратегии

а) . б)

Ответы: а) α=β=V=4;(А₂В₃) б) α=β=V=-3 (А₃В₄)

№3. 1) Каждый из двух партнеров, не зная хода другого, кладет свою монету орлом или решкой вверх и при совпадении наименований второй игрок платит первому одну денежную единицу, а при несовпадение первый платит второму столько же.

Составить платежную матрицу и решить игру.

2) Цех заготовитель поставляет в сборочный цех детали двух видов а и в. По договору между цехами оговорены ежедневно два срока поставок этих деталей, причем, при поставке в первый срок деталей вида ,,а” сборочный цех платит заготовительному премию 60 руб., при поставке же изделий ,,а” во второй срок выплачивается премия 20 руб. При поставке же изделий вида ,,в” в первый срок премия составляет 40 руб., а во второй 50 руб. Определить оптимальные стратегии поставок и получения деталей и размер премии.

Ответы: 1) 2)

№4. Найти нижнюю и верхнюю цены игры, определить наличие Седловой точки и чистые стратегии, если они есть

а) ; б)

Ответы а) α=β=V=1; б) α=-2; β=2. -2≤V≤2; (А₁ В₃) и (А₃ В₃).

№5. Определить область значений х, для которых стратегия А₂ и В₂ будут оптимальными в следующих играх

а) , б) , в) .

Ответы: а) 4≤х≤5; б) 3≤х≤7; в) 4≤х≤6.

№6. Определить будут ли значения цены следующих игр больше, меньше или равны нулю:

а) б) в)

г) .

Ответы: а) V>0; б) V≥0; в) V≥0; г) V>0.

№7. Швейное предприятие выпускает детские костюмы, платья и плащи. Сбыт этих товаров зависит от состояния погоды. По статистическим данным полученным за предыдущие годы, предприятие в течении апреля – мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов, 2000 платьев и 300 плащей, в условиях прохладной погоды – 1000 костюмов, 500 платьев и 800 плащей и в условиях обычной погоды 800 костюмов, 1100 платьев и 600 плащей. Затраты на единицу продукции в течении указанных месяцев составили для костюмов 30 ден. ед., для платьев 10 ден. ед. и для плащей 15 ден. ед., а цена реализации равна соответственно 50 ден. ед., а цена реализации равна соответственно 50 ден. ед., 20 ден. ед., 28 ден. ед.

Необходимо максимизировать среднюю величину прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Для этого необходимо составить платёжную матрицу, пару двойственных задач линейного программирования и решить симплексным методом.

Ответ: .

№8. Упростить игру, заданную матрицей и решить

а) ; б) ; в) ; г)

№9. Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции: А₁, А₂, А₃, А₄ получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса, который может находиться в одной из трёх возможных состояний: В₁, В₂, В₃.

Прибыль предприятия при различных состояниях спроса задана матрицей

Необходимо определить оптимальные пропорции выпускаемых предприятием видов продукции, продажа которой обеспечила бы ему максимально возможную выручку от состояния спроса.

Ответ: V>2,5мл.руб.

№10.Планирование посевов Фермер, имеющий ограниченный участок земли может засадить его тремя различными культурами А₁, А₂, А3. Урожай этих культур зависит главным образом от погоды, которая может находиться также в трёх различных состояниях: В₁, В₂, В₃. Фермер имеет информацию об урожайности этих культур при трех различных состояниях погоды, которая отражена в таблице

	Засуха	Нормальная	Дождливая	Цена Сi
	В1	В2	В3
А1	20	5	15	2
А2	7,5	12,5	5	4
А3	0	7,5	10	8

а_ij - количество центнеров культуры с гектара

с_i – рыночная цена одного центнера культуры А_i

Составить матрицу доходов от продажи культур и определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы максимизировать свой доход, независимо от погодных условий.

Ответ: V=31,5тыс.руб

№11. Решить игру:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) 6) ; 7) .

Ответы: 1) , 2) ,

3) 4)

5)

6)

7)

№12. Магазин может завести в различных пропорциях товары четырёх типов (А₁,А₂,А₃,А₄). Их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь пять состояний (В_1,В_2,В_3,В_4,В₅) и не прогнозируются. Определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли следующей матрице прибыли.

Ответ:

№13.Предполагается оснастить цех новой технологической линией. Промышленность выпускает три типа линий. На каждой из линий можно изготовлять пять различных видов изделий. Учитывая расход сырья, трудоемкость, спрос и др., составлена матрица предполагаемой прибыли.

Нужно выбрать тип технологической линии, при которой прибыль будет наибольшей.

Ответ: α=β=v=5; (A₂;B₃).

№14.Предприятие выпускает два вида скоропортящихся продуктов А и В. Себестоимость единицы А составляет 8 руб., а отпускная цена 12 руб. Себестоимость единицы В 5 руб., отпускная цена 8 руб. Если продукция не реализуется в день выпуска, то её качество резко снижается и она продаётся на следующий день по цене в четыре раза нижеотпускной. Реализация продукции зависит от погоды: в хорошую погоду реализуется 2500 ед. продукции A и 15000 ед. продукции B, а в плохую 10000ед продукции A и 3000 ед. продукции В. На реализацию всей продукции в день расходуется 5000 руб. Определить ежедневное производство каждого вида с целью получения наибольшей прибыли.

Ответ: Платежная матрица имеет вид , -объемы реализации.

№15. Решить игру.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Ответы: