10. Устойчивость систем автоматического регулирования

10.1. Понятие устойчивости системы

  

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Примеры устойчивой и неустойчивой систем

Говорят, что система устойчива «в малом», если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом», когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

От устойчивости АСР зависит ее работоспособность. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции регулирования и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность. Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние, поэтому проблема устойчивости систем является одной из основных в теории автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

Здесь y_C(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

Физически это означает, что внешние воздействия отсутствуют, а движение системы происходит за счет внутренней энергии самой системы и зависит только от ее свойств (параметров). Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. Вторая составляющая y_В(t) − частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса. Вынужденная составляющая выходной величины зависит от вида внешнего воздействия (правой части дифференциального уравнения) и на устойчивость системы не влияет.

Следовательно, устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y_C(t). Поэтому условие устойчивости систем формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Свободная составляющая решения дифференциального уравнения представляет собой сумму из n отдельных составляющих:

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий; p_k – корни характеристического уравнения a₀pⁿ + a₁pⁿ⁻¹ + . . . + a_n = 0.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (p_k = a_k), мнимыми (p_k = jβ_k) и комплексными (p_k = a_k ± jβ_k). При этом комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

Свободная составляющая при времени t → ∞ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида C_k exp(p_k t) → 0. Характер этой функции времени зависит от вида корня p_k . На рисунке 10.2 изображены возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости и соответствующие им функции y_k(t).

Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными – правыми.

Рис. 10.2. Влияние корней характеристического уравнения АСР на составляющие ее свободного движения

Анализ рисунка 10.2 позволяет сформулировать общее математическое условие устойчивости: для устойчивости линейной АСР необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости).

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему, т. е. устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть (располагается в правой части комплексной плоскости), то система будет неустойчивой. Мнимая ось jβ является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (p_k = +j β_k , p_k+1 = − j β_k), а все остальные корни находятся в левой части комплексной плоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой ω = | β_k | . В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.

Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень (β = 0), то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Применяя сформулированное выше условие для оценки устойчивости реальных АСР, не следует забывать, что линейные уравнения, как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы и не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя.

Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.