5. Классическое определение вероятности.

элем-е благопр-е исходы.

Теорема: Вероятность события А численно равно отношению числа благоприятных исходов к общему числу этих исходов.

Пример: В урне 10 шаров (5 бел, 3 кр, 2 син).

6. Виды выборок в классическом стохастическом эксперименте.

Генеральная совокупность – n единотипных объектов.

Выборочная совокупность объемом k, где k≤n, назовем упорядоченную последовательность k элементов.

Виды:

1. Выборки без возвращения, но с упорядочиванием – элемент, выбранный из генеральных совокупностей, туда не возвращается, он может быть записан только в 1 генеральной совокупности.

Число размещений:

→

2. Выборки без возвращения и без упорядочивания – выборки отличаются только составом.

3. Выборки с возвращением и с упорядочиванием.

число таких выборок.

4. C возвращением, но без упорядочивания.

7. Геометрические вероятности.

Обобщают классическое определение вероятности.

1. Ω - замкнутая ограниченная плоская область, каждая – элементарный исход. А - подмножество Ω, состоящее из части множества элементарных исходов Ω.

2. Ω – ограниченная линейная область (отрезок). -длина.

3. V(A), V(Ω) – объем.

8. Условная вероятность. Произведение вероятностей. Зависимые и независимые события.

,

кол-во элементарных исходов;

Пусть состоялось событие условная вероятность события А, при условии, что В произошло.

Событие А – независимое от события В. Если выполняется условие независимости:

Умножение вероятностей:

1.

Если А и В независимы, то

Рассмотрим груму событий

Пусть ;

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Теорема 1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е.

Теорема 2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

9. Вероятность появления хотя бы одного события.

независимы в совокупности. даны независимых событий.

В эксперименте может произойти количество, найти хотя бы того, что в эксперименте появилось хотя бы 1 событие из этих всех.

Найти:

вер-ть появл-я соб. A.

вер. не появл-я соб-й.

– вероятность появления события A.

10. Формула полной вероятности.

Теорема: Пусть полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

Доказательство:

и события попарно несовместимы. Поэтому