Ответы к экзамену по теоретической механике Билет № 1

1. Сосредоточенная сила.

Сосредоточенная сила - сила, приложенная в одной точке.

Например:

1.А. Проекция силы на плоскость.

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор F_xy = OB₁, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху. По модулю F_xy = = Fcos θ, где θ – угол между направлением силы и ее проекции F_xy.

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.

Например, в случае, изображенном на рис.

Найдем таким способ, что ,

1.Б. Проекция силы на ось.

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.

Обозначать проекцию силы на ось Ox будет символом Fx. Тогда для сил, изображенных на рисунке, получим:

Но из чертежа видно, что AB₁=Fcosα, ED₁=Qcosβ = - Qcosα₁.

Следовательно,

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.

1.В. Момент силы относительно точки и относительно оси.

Моментом силы относительно точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы. Если мом. силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O— точка, относ., которой находится момент силы F, то момент силы обозначается символом Мо(F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение Мо(F)=r х F. (1) Т.е. момент силы равен векторному произведению вектора r на вектор F. Модуль векторного произведения равен Мо(F)=rF sin a=Fh, (2) где h — плечо силы. Вектор Мо (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (1) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (2) можно записать в виде MO(F)=2S, (3) где S– площадь треугольника ОАВ. Пусть x, у, z —координаты точки приложения силы, a Fx, Fy, Fz — проекции силы на координатные оси. Если т. О нах. в начале координат, то момент силы:

Значит, проекции момента силы на координатные оси определяются ф-ми:

Mox(F)=yFz–zFy, Moy(F)=zFx–xFz, Moz(F)=xFy–yFx.

Момент силы относительно оси, например Oz (рисунок 1), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси (F' ) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е.

Mz(F) = Mo(F') = F' h'.

Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.

Рисунок 1

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0 (например Mz(P)), или сила параллельна оси, т.е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, Mz(Q) . Момент силы относительно оси – скалярная величина.

Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение

Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы F относительно соответствующих осей.