П.1 Понятие степени с натуральным показателем

1) К седьмому классу у учащихся сформировано понятие степени натурального числа с натуральным показателем, они умеют находить в простейших случаях значения степеней с натуральным показателем и выполнять действия в простейших числовых выражениях, содержащих степени.

2) В пятом классе было введено определение степени с натуральным показателем на множестве натуральных чисел. Однако учащиеся имеют представление и о степени рационального числа, потому что по мере их знакомства с числами в курсе 5 – 6 классов учащимся предлагались простейшие задания на возведение в степень обыкновенных и десятичных дробей, отрицательных чисел. Эта работа велась с целью формирования первичного опыта у учащихся, ее можно расценивать и как опережающее обучение для более подготовленной части учащихся, поэтому знание понятия степени и умение его применять на множестве рациональных чисел не являлись обязательными результатами обучения для всех учащихся. В седьмом классе задачи формирования у всех учащихся понятия степени рационального числа, умение применять свойства степеней для преобразования выражений и рационализации вычислений становятся обязательными.

3) Понятно, что к моменту изучения этого пункта у основной части класса уже имеется некое представление о степени с натуральным показателем рационального числа, однако специальным образом определение степени на множество рациональных чисел не расширялось. Следует обратить внимание учащихся на то, что в 5 классе было дано определение степени только для натуральных чисел, и предложить им распространить их знания о степени на множество рациональных чисел (№ 1). После этого вводится определение степени рационального числа с натуральным показателем, уточняется понятие первой степени рационального числа.

4) При отработке понятия степени учащиеся уточняют понятие основания и показателя степени и учатся указывать их в степени (№ 4).

5) Здесь же с учащимися разбираются различные записи степеней со скобками, уточняется, какое влияние скобки оказывают на смысл полученных записей (№ 5). Прежде чем заменять степени произведениями учащиеся должны пояснить, что в данных выражениях является основанием степени. Можно предложить учащимся сравнить пары выражений со скобками и без них и подчеркнуть в них основания степеней. Такая работа дает возможность учащимся избежать в дальнейшем ошибок при записях степеней: часто возникающей путаницы со знаком «минус» и др.

6) Учащимся предлагается использовать понятие степени не только для числовых выражений (№№ 2, 4 и т. п.), но и для буквенных выражений (№№ 3, 5). В связи с мощной алгебраической пропедевтикой данные задания не будут вызывать трудностей у семиклассников. Однако нужно понимать, что на данном этапе обучения, в отличие от предыдущих, применение понятия степени для буквенных выражений является обязательным умением для всех учеников.

7) Ограничивать применение понятия степени только к алгебраическим выражениям не стоит, ведь важно показать использование понятия степени при вычислениях. Кроме того, следует продолжать работу над тренировкой вычислительных навыков.

8) В данном пункте учащиеся доказывают простейшие свойства степеней, связанные со знаком степени:

• Любая натуральная степень положительного рационального числа – это число положительное.

• Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное, а отрицательное число, возведённое в нечётную степень – число отрицательное.

После чего эти свойства используются для определения знака степени (№ 9).

9) Важно дать учащимся возможность обосновать эти свойства в общем виде самостоятельно. Для проблематизации можно предложить семиклассникам определить знак значения выражений:

а) (− 27)⁹⁹; б)(− 311)²¹⁰.

Для того чтобы доказательство свойств было проведено учащимися успешно, на актуализации следует не только вспомнить понятие степени натурального числа и уточнить его для рационального числа, но и повторить правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел.

10) При выполнении задания № 11 в речи учащихся используются выражения «квадрат суммы», «сумма квадратов», «куб суммы» и «сумма кубов» и т.п., которые потом начнут систематически употребляться ими в формулах сокращенного умножения. После нахождения значения этих выражений учителю следует заострить внимание учащихся на том, что «похожие» на слух и по записи выражения имеют совершенно разные значения и задать вопрос, почему так происходит. Такая работа поможет в дальнейшем избежать ошибок учащихся, связанных с тем, что они воспринимают записи а² + b²и (а + b)² как одинаковые, не говоря уже о путанице, возникающей при их чтении.

11) При изучении данного пункта учащиеся фиксируют правило, устанавливающее порядок действий в выражениях, содержащих степени и применяют его (№ 12).

12) Перед изучением содержания данного пункта следует показать семиклассникам, для каких целей используется понятие степени с натуральным показателем в реальной жизни. Одним из примеров необходимости степени является ее удобство при записи больших чисел, которые часто используются в разных науках, например, в астрономии. Можно предложить им узнать во внеурочное время, в каких еще науках применяются степени.